证明：对于一个矩形A，可以找到另一个矩形B的周长和面积都为A的n倍（一）

　　本章讨论，当n≥1时是否存在。
据题意，设B的长和宽为x和y，A的长宽分别为a、b，得方程组：
①x + y = n ( a + b )
②x y = a b n
由①得：③y = a n + b n – x
将③带入②得：
x ( a n + b n – x ) = a b n
④x2 – a n x – b n x + a b n = 0
设在④中Δ<0，则可得：
[ - ( a + b ) n ]2 – 4 * 1 * a b n < 0
a2 n2 + 2 a b n2 + b2 n2 – 4 a b n < 0
a2 n2 + 2 a b n2 + b2 n2 < 4 a b n
∵ n≥1 ∴ 2 a b n2 ≥ 2 a b n
可得：
a2 n2 + b2 n2 < 2 a b n
( a n + b n )2 – 2 a b n2 < 2 a b n
( a + b )2 n2 < 2 a b n ( n + 1 )
( a + b )2 n < 2 a b ( n + 1 )
当 n = 1 时
( a + b )2 < 4 a b
( a – b )2 < 0
与 a > 0，b > 0 相矛盾（( a – b )2 ≥ 0）
当 n > 1 时，把2 a b n2 ≥ 2 a b n代回。
( a + b )2 n + 2 a b n2 < 2 a b ( n + 1 ) + 2 a b n
( a2 + 2 a b + b2 + 2 a b n ) n < 2 a b ( n + 1 ) – 2 a b n
[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n < 2 a b
∵ a > 0，b > 0，n > 1
又∵( a + b )2 > 2 a b
∴[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n > 2 a b
[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n < 2 a b与[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n > 2 a b矛盾
∴Δ≥0，即当n≥1时，可以得到一个矩形B的周长和面积均为给定矩形A的n倍