递归的简单解释

最简单的递归具有这样的形式

fn = a | fn

它的结果就是 a

计算过程如下,是一个数学归纳法.

递归次数) 表达式
1) fn = a
2) fn = fn = a
....
n) fn = fn =...(n - 1 次)= fn = a

所以fn = a

写成C语言就是:
#define a 1

int fn(int n)
{
if( n == 0) return a;
return fn(n - 1)
}

n == 0 是递归终止条件, 当它一定能成立时, a 称为吸收子, fn 是递归过程.

当吸收子不含有递归过程(直接或间接)时称为 有限递归. 程序设计中的递归都必须是
有限递归.

不论递归过程如何定义,其关键都产生吸收子.整个递归的过程,实际上就是生成一个
参数数列A = { fn(n=1), fn(n = 2), .... fn(n=n-1)}.
其结果就是以吸收子和参数数列为自变量的一个函数: F(a, A).

上例中, fn(n) 的参数就是n, 参数数列就是A = { n, n - 1, n - 2, ..., 0}
函数F(x, y) = x.所以结果为0.

再举个例子:

void fn ( int n, int sum)
{
if(n == 0) return;

printf("n = %d, sum = %d", n, sum)
fn(n - 1, sum + n);
printf("n = %d, sum = %d", n, sum)
}

这个递归过程
A = {n, sum}, {n - 1, sum + n}, {n - 2, sum + n + n - 1}, ... { 0, sum + n*n - 1 - 2 ... - (n - 1)}
a = 空

F(x, y) = 空.

结果只是打印出了A数列

不过这个例子说明了一个问题, F(x,y)实际上作用了两次. 第一次以A顺序, 第二次以A的逆序.

第一次发生在生成A数列过程中,第二次发生在销毁A的过程中.
实际上它说明了递归的栈本质.

就是说所有的递归函数都可以改写成非递归的函数(使用栈).
如上题:

struct A
{
int n;
int sum;
};

#define N = 30; //最大栈深
void fn(int n, int sum)
{
A stack
;
int i = n;

stack
.n = n;
stack
.sum = sum;
printf("n = %d, sum = %d", stack[i].n, stack[i].sum);

while(i)
{
stack[i - 1].sum = stack[i].sum + i;
stack[i - 1].n = i;

i--;
printf("n = %d, sum = %d", stack[i].n, stack[i].sum);
}

while(i#include <stdio.h>

void fn ( int n, int sum)
{
if(n == 0) return;

printf("before n = %d, sum = %d/n", n, sum);
fn(n - 1, sum + n);
printf("after n = %d, sum = %d/n", n, sum);
}

struct A
{
int n;
int sum;
};

#define N 30 //最大栈深

void fn2(int n, int sum)
{
A stack
;
int i = n;

stack
.n = n;
stack
.sum = sum;

while(i)
{
stack[i - 1].sum = stack[i].sum + i;
stack[i - 1].n = i - 1;
printf("before n = %d, sum = %d/n", stack[i].n, stack[i].sum);
i--;
}

while(i<n)
{
i++;
printf("after n = %d, sum = %d/n", stack[i].n, stack[i].sum);

}
}

int main()
{
fn(5, 0);
fn2(5, 0);
}