高等数学-常微分方程

一阶常微分方程通解

\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=0 \\ \]

\[*齐次微分方程通解:\\ y=ce^{-\int{p(x)}dx} \]

\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) \]

\[*非齐次微分方程通解:\\ y=e^{-\int{p(x)dx}}(c+\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx}) \]

二阶常系数齐次线性微分方程通解

\[y''+py'+qy=0(*)，其中p,q为常数 \\ 求解\Delta = r^2+pr+q=0 \\ 解出\Delta 两个根 r_1,r_2 \]

$$r_1,r_2形式$$	$$y''+p y'+q y=0(*)通解$$
两个不相等实根	$$y=c_1 e^{r_1 x}+c_2 e^{r_2 x}$$
两个相等实根	$$y=(c_1+c_2 x)e^{r_1 x}$$
一对共轭复根\(r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha-i\beta\)	\(y=e^{\alpha x}(c_1\cos{\beta}x+c_2\sin{\beta}x)\)

二阶常系数非齐次微分方程特解

\[y''+py'+qy=f(x)(*)，其中p,q为常数 \]

\[1. f(x)为e^{\lambda x}P(x)型.(P(x)是关于x的多项式且\lambda 常为0) \\ 求解\Delta = r^2+pr+q=0 \\ 解出\Delta 两个特征根 r_1,r_2 特解：y^{*}=x^{k}*Q(x)*e^{\lambda x},Q(x)是和P(x)相同形式的多样式\\(例P(x)=x^2+2 x,则Q(x)为ax^2+bx+c,a b c都是待定系数) \\ \]

$$ 若\lambda 不是特征根 $$	$$$$\(k=0,y^{*}=Q(x)*e^{\lambda x}\)
\(若\lambda 是单根\)	\(k=1,y^*=x*Q(x)*e^{\lambda x}\)
\(若\lambda 是二重根\)	\(k=2,y^*=x^2*Q(x)*e^{\lambda x}\)

\[2. f(x)为e^{\lambda x}P(x)\cos{\beta}或e^{\lambda x}P(x)\sin{\beta}型.(P(x)是关于x的多项式且\lambda 常为0) \\ 求解\Delta = r^2+pr+q=0 \\ 解出\Delta 两个特征根 r_1,r_2\\ \]

$$若\alpha+ \beta i不是特征根$$	$$$$$ y^* = e^{\lambda x}Q(x)(A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x}) $
\(若\alpha+ \beta i是特征根\)	\(y^*=e^{\lambda x}*x*Q(x)\)

例

\[微分方程y''-4y'=e^{2x}的通解形式 \\ 解:令r^2-4r=0 \\ 解得r_1=2,r_2=-2 \\ r_1,r_2为两个不相等实根，齐次通解为 y = c_1e^{2 x}+c_2e^{-2x} \\ f(x)=e^{2x}可知\lambda 值为2 ，是单根，则y^*=xQ(x)e^{2x} \\ f(x)系数为0，所以Q(x) = ax^{0} = a \\ 特解y^*=axe^{2x} \\ 将特解代入解得a=\frac{1}{4} \\ 通解形式为 y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+\frac{1}{4}xe^{2x} \]