[补充内容]关于使用matlab进行方程组求解的线性代数相关知识补充——矩阵

前言

根据李永乐老师课程学习。主要记载矩阵相关的性质、定理等知识，不会进行定理推导、证明。

矩阵概念及其运算

矩阵概念

矩阵：如下图的m×n个数排列出的表格，成为m×n矩阵，当m=n时，成为n阶矩阵或n阶方阵。记作A。如果所有元素都是0，就称它为0矩阵，记为0。

矩阵使用的实例：
有9个地点，x3表示这两地有三条道路可以走。

我们可以列出描述两地间走法的矩阵
a-b之间的矩阵a行，b列

b-c之间的矩阵b行c列

对于a到c呢?只需要再添加一步就可以求得a-c间的各种走法，将在后面两矩阵相乘讲解。
同型矩阵：两个都是mXn的矩阵，就称这两个矩阵同型。
矩阵相等：在同型条件下，两矩阵对应位置元素相等。
对角矩阵：除主对角线外，其他位置元素为0。
单位矩阵：如果对角矩阵对角线元素全是1，那么就叫单位矩阵。
上三角矩阵：以主对角线为界限，主对角线以及对角线上方不全为零，主对角线下方全为0。
下三角矩阵：与上三角矩阵元素位置相反。（参考上三角矩阵）

矩阵的计算

矩阵加减法：条件：两个同型矩阵。两同型矩阵相加减，对应位置元素相加减。

数与矩阵相乘：写作kA。

两矩阵的乘法
还是之前的例子

a2-c1有：2X2+2X4
a2-c2有：2X1+2X5
…
都是相乘再相加的形式，很熟悉是吧，将这种形式再次转化成矩阵。
对于矩阵乘法，要求AB，A的列数=B的行数，即A（m行,n列），B（n行，j列）。AB=C,C（m行，j列）
新产生的C矩阵的元素c（m行，j列）=a(m行，对应位置)Xb(j列对应位置)再求和，即


运算法则
矩阵的乘法有顺序，AB≠BA
AB=0,A或B不一定为0矩阵
AB=AC，且A≠0，无法推出B=C

A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C
k(mA)=m(kA)=(mk)A
(k+m)A=kA+mA
k(A+B)=kA+kB
1A=A
0A=0
(AB)C=A(BC)=ABC
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
AE=A
EA=A
A为n阶矩阵，AA=A²

矩阵转置
将矩阵的行列互换，第一行变第一列，第二行变第二列……成为矩阵的转置矩阵，A矩阵的转置矩阵记作：

转置的运算法则

对称矩阵：

反对称矩阵：

此外

方阵的行列式

一个n阶矩阵元素不动，转化为行列式。记为：

注：只有方阵才有对应的行列式，因为行列式必须是方的。矩阵为非0矩阵，行列式也可能为0。

伴随矩阵

定义：如果A是一个n阶矩阵，将矩阵中个元素的位置换成其对应的代数余子式。

定理：

可逆矩阵

定义：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E，则称A可逆，B为A的逆矩阵。
如果A可逆，那么它的逆矩阵唯一。
如果A可逆，它一定可以写成若干初等矩阵的乘积。
如果A可逆，那么A的行列式值不等于0。
如果A可逆，k≠0，那么kA也可逆。
如果A、B均可逆，那么AB也可逆。
     
A可逆，A的转置也可逆。
     
有一推论，当A、B是n阶矩阵时：

求逆矩阵的一种方法：通过拼接这样的矩阵，在经过若干次初等行班变换。

主对角矩阵

对角阵只有主对角线上有非零元素，其他位置全为0。

分块矩阵

例如下面的矩阵，就可以在第二行、第二列的位置切开，分成一个2X2的矩阵与3个1X1矩阵。

方程组的矩阵写法

上面的方程组就等价于下面的矩阵写法。

这样的形式统一写为 Ax=b 其中A是系数矩阵；x是未知数矩阵；b是常系数矩阵。

矩阵的初等变换与线性方程组

高斯消元法

算法就是几个方程之间加减消元，化简为单一变量，这里不再详细叙述，这是解方程组的最基本（常用的方法）。

矩阵的初等行变换（同解变形）

1.用非0数乘以某个方程；
2.将一个方程的k倍加到另一个方程上；
3.交换两方程位置；
这就是通解变形，高斯消元法所使用的手段；根据之前的方程组的矩阵写法，只考虑系数的情况下，也使用同样的方法对矩阵的行进行变换。同样也能化成高斯消元法的最终形式。（方程组的矩阵形式中的例子举例）

这样化简出的阶梯型矩阵就可以求解方程组了。
一共有4个未知数，其独立的未知数个数等于阶梯个数（3），所以有无穷多解

矩阵的初等变换

包括初等行变换（上面所讲到的），初等列变化（行换成列即可）
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵。
使用初等矩阵与另一个矩阵做乘积，即

当为PA时，叫做左乘，AP为右乘，左乘等价于对A进行初等矩阵相同的行变换，右乘等价于对A进行初等矩阵相同的列变换。
矩阵等价：A矩阵经过若干次初等变换，变成矩阵B，则称A与B等价。记作

矩阵等价有如下性质

行阶梯矩阵
定义：设A-mXn，若满足：（1）就诊如有0行，0行都在矩阵底部。（2）每个非0行主元（即该行最左边第一个非0元素）所在类的下面元素都是0，则称A为行阶梯矩阵。
行最贱矩阵
定义：设A-mXn，若A是行阶梯矩阵，且还满足：非零元素都是1，且主元所组啊咧的其他元素都是0。

矩阵的秩

秩的概念、计算

k阶子式：在mXn矩阵A中，任取k行与k列（k不大于m和n）位置，这些行与列的交叉点上的k²各元素按其在原来矩阵A的次序可构成一个k阶行列式，撑起为矩阵的k阶子式。
秩：若矩阵A中存在r阶子式不为0，r+1阶子式(若存在)全为0，则矩阵A的秩为r。记成r(A)=r。零矩阵的秩规定为0。
经初等变换，矩阵的秩不变。
若可逆矩阵P、Q，使得PAQ=B，则r(A)=r(B)

秩的性质

线性方程组有解判定

对于非齐次方程组：Ax=b，A表示系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数项。形成的矩阵没一行对应一个方程。

这样就就能使用系数矩阵和常数项组合出增广矩阵。

再化简成行阶梯矩阵。
若果d1=0，则方程组有解否则无解。

解的判定方法