PLSA模型简介

PLSA作为一种主题模型，提供了一种文本语义分析的手段，在自然语言处理中有很多应用，例如广告推荐、文本分类、改善搜索相关性等。关于PLSA的应用场景在下一篇博客中介绍，这里先对模型作一个简单的介绍，也算是对PLSA的推导过程做一个梳理。

PLSA：Probabilistic LatentSemantic Analysis，也即浅层概率语义分析，大体来讲就是通过概率手段计算潜在主题与word、document之间的关系。

传统的bag of words模型，通过word之间的匹配来计算文档之间的距离，对于汉语中的一词多义、同义词现象解决起来相对乏力。主题模型通过引入潜在主题维度，将文档投影到潜在主题上，将字面上不同的文档从语义上进行关联。

P(d)：在海量文档中选出文档d的概率

P(z|d)：文档d属于主题z的概率

p(w|z)：在主题z的中选中单词w的概率

因此可以得出以下等式：

在文档di中选出单词wj的概率：

根据条件概率可以得到：

文档集合被选中的概率：

对p求极大似然估计可得到：

极大似然估计也即要估计出的值，以使L最大，也即是使观测到的状态（文档集合）概率最大。

因此目标函数为：

在目标函数中含有对数加法，所以的似然解问题没有闭式解，但可以采用EM算法，不断迭代逼近最优解。

根据全概率公式可得到：

因此：

根据Jenson不等式可以得到：

可以同步不断的求F的最大值从而来逼近L的最大值。因此该问题转化为了一个约束条件下的最优化问题，约束条件为：

通过拉格朗日函数方法可以得到优化的目标函数为：

注意F’中的变量是 ，对他们分别求导可以得到：

通过简单的变形可以得到：

     （EM算法中的E步）

（EM算法中的M步）

           （EM算法中的M步）

通过给定初始的 ，从而就可以计算出 ，然后又可以不同后者再计算出前者，以此不断迭代，从而逼近F的最优解。

至此，最后得到的 也即PLSA模型的所求。

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