六自由度机械臂轨迹规划

对串联机械臂而言，轨迹规划可以分为：关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划。关节空间轨迹规划是把机器人的关节变量变换成跟时间的函数，然后对角速度和角加速度进行约束。笛卡尔空间轨迹规划是把机器人末端在笛卡尔空间的位移、速度和加速度变换成跟时间的函数关系。

由于在关节空间中进行轨迹规划是直接用运动时的受控变量规划轨迹，有着计算量小，容易实时控制，而且不会发生机构奇异性等优点，所以经常被采用。

现以一维的轨迹为研究对象，利用三次多项式插值法和五次多项式插值法分别对其进行轨迹规划，通过对比两种插值法的效果，选取效果更优者对六自由度机械臂进行轨迹规划。

三次多项式插值法

三次多项式有4个待定系数，可同时对起始点和目标点的角度和角速度给出约束条件。

数学推导

MATLAB代码

%三次多项式插值法
clear;
clc;
q_array=[0,50,150,100,0];%指定起止位置
t_array=[0,2,4,8,10];%指定起止时间
v_array=[0,10,20,-15,0];%指定起止速度
t=[t_array(1)];q=[q_array(1)];v=[v_array(1)];a=[0];%初始状态
for i=1:1:length(q_array)-1%每一段规划的时间
a0=q_array(i);
a1=v_array(i);
a2=(3/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(q_array(i+1)-q_array(i))-(1/(t_array(i+1)-t_array(i)))*(2*v_array(i)+v_array(i+1));
a3=(2/(t_array(i+1)-t_array(i))^3)*(q_array(i)-q_array(i+1))+(1/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(v_array(i)+v_array(i+1));
ti=t_array(i)+0.001:0.001:t_array(i+1);
qi=a0+a1*(ti-t_array(i))+a2*(ti-t_array(i)).^2+a3*(ti-t_array(i)).^3;
vi=a1+2*a2*(ti-t_array(i))+3*a3*(ti-t_array(i)).^2;
ai=2*a2+6*a3*(ti-t_array(i));
t=[t,ti];q=[q,qi];v=[v,vi];a=[a,ai];
end
subplot(3,1,1),plot(t,q,'r'),xlabel('t/s'),ylabel('p/m');hold on; plot(t_array,q_array,'o','color','r'),grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v,'b'),xlabel('t/s'),ylabel('v/(m/s)');hold on;plot(t_array,v_array,'*','color','r'),grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a,'g'),xlabel('t/s'),ylabel('a/(m/s^2)');hold on;
% 指定文件夹保存图片
filepath=pwd;           %保存当前工作目录
cd('C:\Users\Administrator\Desktop\pic')                %把当前工作目录切换到图片存储文件夹
print(gcf,'-djpeg','C:\Users\Administrator\Desktop\pic\san.jpeg'); %将图片保存为jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目录

五次多项式插值法

五次多项式有6个待定系数，可同时对起始点和目标点的角度、角速度和角加速度给出约束条件。

数学推导

MATLAB代码

%五次多项式插值法
clear;
clc;
q_array=[0,50,150,100,40];%指定起止位置
t_array=[0,3,6,12,14];%指定起止时间
v_array=[0,10,20,-15,0];%指定起止速度
a_array=[0,20,30,-20,0];%指定起止加速度
t=[t_array(1)];q=[q_array(1)];v=[v_array(1)];a=[a_array(1)];%初始状态
for i=1:1:length(q_array)-1%每一段规划的时间
T=t_array(i+1)-t_array(i);
a0=q_array(i);
a1=v_array(i);
a2=a_array(i)/2;
a3=(20*q_array(i+1)-20*q_array(i)-(8*v_array(i+1)+12*v_array(i))*T-(3*a_array(i)-a_array(i+1))*T^2)/(2*T^3);
a4=(30*q_array(i)-30*q_array(i+1)+(14*v_array(i+1)+16*v_array(i))*T+(3*a_array(i)-2*a_array(i+1))*T^2)/(2*T^4);
a5=(12*q_array(i+1)-12*q_array(i)-(6*v_array(i+1)+6*v_array(i))*T-(a_array(i)-a_array(i+1))*T^2)/(2*T^5);%计算五次多项式系数
ti=t_array(i):0.001:t_array(i+1);
qi=a0+a1*(ti-t_array(i))+a2*(ti-t_array(i)).^2+a3*(ti-t_array(i)).^3+a4*(ti-t_array(i)).^4+a5*(ti-t_array(i)).^5;
vi=a1+2*a2*(ti-t_array(i))+3*a3*(ti-t_array(i)).^2+4*a4*(ti-t_array(i)).^3+5*a5*(ti-t_array(i)).^4;
ai=2*a2+6*a3*(ti-t_array(i))+12*a4*(ti-t_array(i)).^2+20*a5*(ti-t_array(i)).^3;
t=[t,ti(2:end)];q=[q,qi(2:end)];v=[v,vi(2:end)];a=[a,ai(2:end)];
end
subplot(3,1,1),plot(t,q,'r'),xlabel('t/s'),ylabel('p/m');hold on; plot(t_array,q_array,'o','color','r'),grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v,'b'),xlabel('t/s'),ylabel('v/(m/s)');hold on;plot(t_array,v_array,'*','color','r'),grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a,'g'),xlabel('t/s'),ylabel('a/(m/s^2)');hold on;plot(t_array,a_array,'^','color','r'),grid on;
% 指定文件夹保存图片
filepath=pwd;           %保存当前工作目录
cd('C:\Users\Administrator\Desktop\pic')                %把当前工作目录切换到图片存储文件夹
print(gcf,'-djpeg','C:\Users\Administrator\Desktop\pic\wu.jpeg'); %将图片保存为jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目录

两种插值法的效果对比

相对于三次多项式插值， 五次多项式插值法所得到的轨迹加速度也是平滑的曲线，并没有出现跳变的情况。

在机器人系统中，关节角加速度出现跳变现象意味着关节的电机会受到冲击， 因此为保证电机平稳运行，角加速度要求平滑连续。

虽然三次多项式插值法的计算量和较之更小，但对于离线规划而言，该时间成本可以忽略，因此从规划的轨迹平稳度而言，五次多项式插值法更佳。

六自由度机械臂轨迹规划

采用五次多项式插值法进行机械臂轨迹规划，将运动学解导入Matlab Robotics Toolbox仿真，得到各关节角度、速度和加速度与时间关系曲线。

需要注意的是，利用Robotics Toolbox进行轨迹规划前，需要安装工具箱，可参考以下博客：
matlab安装Robotics Toolbox 机器人工具箱

此外，每次重新启动MATLAB时都需要重新输入“startup_rvc”回车来启动这个工具箱。

本文所控对象为串联六R机械臂，其具体尺寸参数见于代码中的D-H表。

MATLAB代码

% Modified DH
% ABB robot
% lujingguihua
clear;
clc;
% %机器人建模
th(1) = 0; d(1) = 0; a(1) = 0; alp(1) = 0;
th(2) = 0; d(2) = 0; a(2) = 3.20; alp(2) = pi/2;
th(3) = 0; d(3) = 0; a(3) = 9.75; alp(3) = 0;
th(4) = 0; d(4) = 8.87; a(4) = 2; alp(4) = pi/2;
th(5) = 0; d(5) = 0; a(5) = 0; alp(5) = -pi/2;
th(6) = 0; d(6) = 0; a(6) = 0; alp(6) = pi/2;
% DH parameters  th     d    a    alpha  sigma
L1 = Link([th(1), d(1), a(1), alp(1), 0], 'modified');
L2 = Link([th(2), d(2), a(2), alp(2), 0], 'modified');
L3 = Link([th(3), d(3), a(3), alp(3), 0], 'modified');
L4 = Link([th(4), d(4), a(4), alp(4), 0], 'modified');
L5 = Link([th(5), d(5), a(5), alp(5), 0], 'modified');
L6 = Link([th(6), d(6), a(6), alp(6), 0], 'modified');
robot = SerialLink([L1, L2, L3, L4, L5, L6]); %SerialLink 类函数
robot.name='Robot-6-dof';
robot.display(); %显示D-H表

%轨迹规划参数设置
init_ang = [pi/6,0, 2*pi/3,pi/3, 0, 0];
targ_ang = [pi/2,pi/6,0,0, -pi/2, pi/6];
T =(0:0.1:5);
%轨迹规划方法
[q,qd,qdd] = jtraj(init_ang,targ_ang,T); %直接得到角度、角速度、角加速度的的序列

%%显示
figure(1);
%动画显示
subplot(1,2,1);
title('动画过程');
robot.plot(q);
% 轨迹显示
t=robot.fkine(q);%运动学正解
rpy=tr2rpy(t);  %t中提取位置（xyz）
subplot(1,2,2);
plot2(rpy);
xlabel('X/mm'),ylabel('Y/mm'),zlabel('Z/mm');hold on
title('空间轨迹');
text(rpy(1,1),rpy(1,2),rpy(1,3),'A点');
text(rpy(51,1),rpy(51,2),rpy(51,3),'B点');
% 指定文件夹保存图片
filepath=pwd;           %保存当前工作目录
cd('C:\Users\Administrator\Desktop\pic')                %把当前工作目录切换到图片存储文件夹
print(gcf,'-djpeg','C:\Users\Administrator\Desktop\pic\1.jpeg'); %将图片保存为jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目录

%单个关节的位置title('关节1位置');
figure(2);
subplot(3,2,1);
plot(T,q(:,1));
xlabel('t/s'),ylabel('θ1/rad');hold on
subplot(3,2,2);
plot(T,q(:,2));
xlabel('t/s'),ylabel('θ2/rad');hold on
subplot(3,2,3);
plot(T,q(:,3));
xlabel('t/s'),ylabel('θ3/rad');hold on
subplot(3,2,4);
plot(T,q(:,4));
xlabel('t/s'),ylabel('θ4/rad');hold on
subplot(3,2,5);
plot(T,q(:,5));
xlabel('t/s'),ylabel('θ5/rad');hold on
subplot(3,2,6);
plot(T,q(:,6));
xlabel('t/s'),ylabel('θ6/rad');hold on
% 指定文件夹保存图片
filepath=pwd;           %保存当前工作目录
cd('C:\Users\Administrator\Desktop\pic')                %把当前工作目录切换到图片存储文件夹
print(gcf,'-djpeg','C:\Users\Administrator\Desktop\pic\2.jpeg'); %将图片保存为jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目录

%单个关节的速度
figure(3);
subplot(3,2,1);
plot(T,qd(:,1));
xlabel('t/s'),ylabel('Ω1/rad');hold on
subplot(3,2,2);
plot(T,qd(:,2));
xlabel('t/s'),ylabel('Ω2/rad');hold on
subplot(3,2,3);
plot(T,qd(:,3));
xlabel('t/s'),ylabel('Ω3/rad');hold on
subplot(3,2,4);
plot(T,qd(:,4));
xlabel('t/s'),ylabel('Ω4/rad');hold on
subplot(3,2,5);
plot(T,qd(:,5));
xlabel('t/s'),ylabel('Ω5/rad');hold on
subplot(3,2,6);
plot(T,qd(:,6));
xlabel('t/s'),ylabel('Ω6/rad');hold on
% 指定文件夹保存图片
filepath=pwd;           %保存当前工作目录
cd('C:\Users\Administrator\Desktop\pic')                %把当前工作目录切换到图片存储文件夹
print(gcf,'-djpeg','C:\Users\Administrator\Desktop\pic\3.jpeg'); %将图片保存为jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目录

%单个关节的加速度
figure(4);
subplot(3,2,1);
plot(T,qdd(:,1));
xlabel('t/s'),ylabel('α1/rad');hold on
subplot(3,2,2);
plot(T,qdd(:,2));
xlabel('t/s'),ylabel('α2/rad');hold on
subplot(3,2,3);
plot(T,qdd(:,3));
xlabel('t/s'),ylabel('α3/rad');hold on
subplot(3,2,4);
plot(T,qdd(:,4));
xlabel('t/s'),ylabel('α4/rad');hold on;
subplot(3,2,5);
plot(T,qdd(:,5));
xlabel('t/s'),ylabel('α5/rad');hold on
subplot(3,2,6);
plot(T,qdd(:,6));
xlabel('t/s'),ylabel('α6/rad');hold on
% 指定文件夹保存图片
filepath=pwd;           %保存当前工作目录
cd('C:\Users\Administrator\Desktop\pic')                %把当前工作目录切换到图片存储文件夹
print(gcf,'-djpeg','C:\Users\Administrator\Desktop\pic\4.jpeg'); %将图片保存为jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目录

结论

通过轨迹规划，不仅得到了机械臂末端执行器的空间轨迹，还可以得到其关节的角位移、角速度和角加速度。从上图 可以看出机械臂到达预定的位置，证明了该机械臂设计的合理性。随着运动的进行， 各个关节的角度与时间关系的曲线， 可以看到其运动过程连续平滑。而且在图 中可以看出各关节的角速度和角加速度都是光滑变化的，没有出现跳变点。进一步地，在首末两点的速度以及加速度都可以有效地约束为零。 由此可知，机械臂在进行实际作业时，各关节、 运动部件可以平稳地运行。

参考文献

[1] John J. Craig. 机器人学导论［M］ . 机械工业出版社， 2006.

[2] 周霏,陈富林,沈金龙,杨杏.基于MATLAB的四自由度机械臂运动学仿真研 究[J].机械制造与自动化,2016,45(01):115-119.

[3] Matlab 机器人工具箱 轨迹生成----jtraj ctraj

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