Task 3 多层感知机

多层感知机中最为重要的自然是“多层”，多层中涉及到的隐藏层的目的是为了将线性的神经网络复杂化，更加有效的逼近满足条件的任何一个函数。
因此文中先证明了一个最常见的思路，即两个线性层复合，是不可行的，无论多少层线性层复合最后得到的结果仍然是等价于线性层。这个结果的逻辑来自与线性代数中，H=XW+b 是一个仿射变换，通过W变换和b平移，而O=HW2+b2 则是通过W2变换和b2平移，最终经过矩阵的乘法和加法的运算法则（分配律）得到最终仍然是对X的仿射变换。
在线性层复合不行的情况下，最容易想到的思路就是将隐藏层变成非线性的，即通过一个“激励函数”将隐藏层的输出改变。
因此这里主要讨论一下，为什么添加激励函数后可以拟合“几乎”任意一个函数。
将函数分成三类：逻辑函数，分类函数，连续函数（分类的原则是输入输出形式）
1.通过一个激励函数可以完成简单的或与非门逻辑，因此通过隐藏层中神经元复合就可以完成任何一个逻辑函数拟合。只需要通过神经网络的拟合将真值表完全表示
2.通过之前使用的线性分类器构成的线性边界进行复合便可以得到任意一个分类函数。
3.通过积分微元法的思想可以拟合任何一个普通的可积函数

我还是没太理解的一点是：究竟是任何一个非线性添加进去都可以拟合“几乎”所有函数只是效果有好有坏，还是必须要满足某些性质的非线性激励函数才行？

为什么选择的激活函数普遍具有梯度消失的特点?

开始的时候我一直好奇为什么选择的激活函数普遍具有梯度消失的特点，这样不就让部分神经元失活使最后结果出问题吗？后来看到一篇文章的描述才发现，正是因为模拟人脑的生物神经网络的方法。在2001年有研究表明生物脑的神经元工作具有稀疏性，这样可以节约尽可能多的能量，据研究，只有大约1%-4%的神经元被激活参与，绝大多数情况下，神经元是处于抑制状态的，因此ReLu函数反而是更加优秀的近似生物激活函数。
所以第一个问题，抑制现象是必须发生的，这样能更好的拟合特征。
那么自然也引申出了第二个问题，为什么sigmoid函数这类函数不行？
1.中间部分梯度值过小（最大只有0.25）因此即使在中间部分也没有办法明显的激活，反而会在多层中失活，表现非常不好。
2.指数运算在计算中过于复杂，不利于运算，反而ReLu函数用最简单的梯度
在第二条解决之后，我们来看看ReLu函数所遇到的问题，
1.在负向部分完全失活，如果选择的超参数不好等情况，可能会出现过多神经元失活，从而整个网络死亡。
2.ReLu函数不是zero-centered，即激活函数输出的总是非负值，而gradient也是非负值，在back propagate情况下总会得到与输入x相同的结果，同正或者同负，因此收敛会显著受到影响，一些要减小的参数和要增加的参数会受到捆绑限制。
这两个问题的解决方法分别是
1.如果出现神经元失活的情况，可以选择调整超参数或者换成Leaky ReLu 但是，没有证据证明任何情况下都是Leaky-ReLu好
2.针对非zero-centered情况，可以选择用minibatch gradient decent 通过batch里面的正负调整，或者使用ELU(Exponential Linear Units)但是同样具有计算量过大的情况，同样没有证据ELU总是优于ReLU。
所以绝大多数情况下建议使用ReLu。

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