一个应用范德蒙行列式的例子
问题
在实数域上线性空间C[−π,π]C[-\pi,\pi]C[−π,π]内判断下列向量组是否线性相关,并求它的秩:1,sinx,sin2x,sin3x,⋯ ,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx
引理
设fi(x)f_i(x)fi(x)是数域KKK上的iii次多项式,其首项系数为ai(i=0,1,2,⋯ ,n−1)a_i(i=0,1,2,\cdots,n-1)ai(i=0,1,2,⋯,n−1).又设b1,b2,⋯ ,bnb_1,b_2,\cdots,b_nb1,b2,⋯,bn是KKK内一组两两互不相同的数。则下列nnn阶矩阵:[f0(b1)f0(b2)⋯f0(bn)f1(b1)f1(b2)⋯f1(bn)⋮⋮⋮fn−1(b1)fn−1(b2)⋯fn−1(bn)]\begin{bmatrix}
f_0(b_1) & f_0(b_2) & \cdots & f_0(b_n) \\
f_1(b_1) & f_1(b_2) & \cdots & f_1(b_n) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{n-1}(b_1) & f_{n-1}(b_2) & \cdots & f_{n-1}(b_n) \\
\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡f0(b1)f1(b1)⋮fn−1(b1)f0(b2)f1(b2)⋮fn−1(b2)⋯⋯⋯f0(bn)f1(bn)⋮fn−1(bn)⎦⎥⎥⎥⎤
满秩。
引理证明
记fi(x)=∑k=0n−1aikxi−kf_i(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{ik}x^{i-k}fi(x)=∑k=0n−1aikxi−k,其中,aik∈K,ai0=aia_{ik}\in K, a_{i0}=a_iaik∈K,ai0=ai且i<ki<ki<k时,aik=0a_{ik}=0aik=0。规定fi(0)=0f_i(0)=0fi(0)=0。
有∣f0(b1)f0(b2)⋯f0(bn)f1(b1)f1(b2)⋯f1(bn)⋮⋮⋮fn−1(b1)fn−1(b2)⋯fn−1(bn)∣=∣∑k0=0n−1a0k0b10−k0∑k0=0n−1a0k0b20−k0⋯∑k0=0n−1a0k0bn0−k0∑k1=0n−1a1k1b11−k1∑k1=0n−1a1k1b21−k1⋯∑k1=0n−1a1k1bn1−k1⋮⋮⋮∑kn−1=0n−1an−1kn−1b1n−1−kn−1∑kn−1=0n−1an−1kn−1b2n−1−kn−1⋯∑kn−1=0n−1an−1kn−1bnn−1−kn−1∣=∑k0=0n−1∑k1=0n−1⋯∑kn−1=0n−1∣a0k0b10−k0a0k0b20−k0⋯a0k0bn0−k0a1k1b11−k1a1k1b21−k1⋯a1k1bn1−k1⋮⋮⋮an−1kn−1b1n−1−kn−1an−1kn−1b2n−1−kn−1⋯an−1kn−1bnn−1−kn−1∣=∣a0a0⋯a0a1b1a1b2⋯a1bna2b12a2b22⋯a2bn2⋮⋮⋮an−1b1n−1an−1b2n−1⋯an−1bnn−1∣=∏i=0n−1ai∣11⋯1b1b2⋯bnb12b22⋯bn2⋮⋮⋮b1n−1b2n−1⋯bnn−1∣=∏i=0n−1ai∏1≤j<k≤n(bk−bj)\begin{vmatrix}
f_0(b_1) & f_0(b_2) & \cdots & f_0(b_n) \\
f_1(b_1) & f_1(b_2) & \cdots & f_1(b_n) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{n-1}(b_1) & f_{n-1}(b_2) & \cdots & f_{n-1}(b_n) \\
\end{vmatrix}\\
=\begin{vmatrix}
\sum_{k_0=0}^{n-1}a_{0k_0}b_1^{0-k_0} & \sum_{k_0=0}^{n-1}a_{0k_0}b_2^{0-k_0} & \cdots & \sum_{k_0=0}^{n-1}a_{0k_0}b_n^{0-k_0} \\
\sum_{k_1=0}^{n-1}a_{1k_1}b_1^{1-k_1} & \sum_{k_1=0}^{n-1}a_{1k_1}b_2^{1-k_1}& \cdots &\sum_{k_1=0}^{n-1}a_{1k_1}b_n^{1-k_1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}a_{n-1k_{n-1}}b_1^{n-1-k_{n-1}} & \sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}a_{n-1k_{n-1}}b_2^{n-1-k_{n-1}} & \cdots & \sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}a_{n-1k_{n-1}}b_n^{n-1-k_{n-1}} \\
\end{vmatrix}\\
=\sum_{k_0=0}^{n-1}\sum_{k_1=0}^{n-1}\cdots\sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}\begin{vmatrix}
a_{0k_0}b_1^{0-k_0} & a_{0k_0}b_2^{0-k_0} & \cdots & a_{0k_0}b_n^{0-k_0} \\
a_{1k_1}b_1^{1-k_1} &a_{1k_1}b_2^{1-k_1}& \cdots &a_{1k_1}b_n^{1-k_1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1k_{n-1}}b_1^{n-1-k_{n-1}} &a_{n-1k_{n-1}}b_2^{n-1-k_{n-1}} & \cdots & a_{n-1k_{n-1}}b_n^{n-1-k_{n-1}} \\
\end{vmatrix}\\
=\begin{vmatrix}
a_0 & a_0 & \cdots & a_0\\
a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n\\
a_2b_1^2 & a_2b_2^2 & \cdots & a_2b_n^2\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{n-1}b_1^{n-1} & a_{n-1}b_2^{n-1} & \cdots & a_{n-1}b_n^{n-1}
\end{vmatrix}\\
=\prod_{i=0}^{n-1}a_i\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
b_1 & b_2 & \cdots & b_n\\
b_1^2 & b_2^2 & \cdots & b_n^2\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
b_1^{n-1} & b_2^{n-1} & \cdots & b_n^{n-1}
\end{vmatrix}\\
=\prod_{i=0}^{n-1}a_i\prod_{1\le j\lt k\le n}(b_k-b_j) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣f0(b1)f1(b1)⋮fn−1(b1)f0(b2)f1(b2)⋮fn−1(b2)⋯⋯⋯f0(bn)f1(bn)⋮fn−1(bn)∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑k0=0n−1a0k0b10−k0∑k1=0n−1a1k1b11−k1⋮∑kn−1=0n−1an−1kn−1b1n−1−kn−1∑k0=0n−1a0k0b20−k0∑k1=0n−1a1k1b21−k1⋮∑kn−1=0n−1an−1kn−1b2n−1−kn−1⋯⋯⋯∑k0=0n−1a0k0bn0−k0∑k1=0n−1a1k1bn1−k1⋮∑kn−1=0n−1an−1kn−1bnn−1−kn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=k0=0∑n−1k1=0∑n−1⋯kn−1=0∑n−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0k0b10−k0a1k1b11−k1⋮an−1kn−1b1n−1−kn−1a0k0b20−k0a1k1b21−k1⋮an−1kn−1b2n−1−kn−1⋯⋯⋯a0k0bn0−k0a1k1bn1−k1⋮an−1kn−1bnn−1−kn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0a1b1a2b12⋮an−1b1n−1a0a1b2a2b22⋮an−1b2n−1⋯⋯⋯⋯a0a1bna2bn2⋮an−1bnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=0∏n−1ai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1b1b12⋮b1n−11b2b22⋮b2n−1⋯⋯⋯⋯1bnbn2⋮bnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=0∏n−1ai1≤j<k≤n∏(bk−bj)
由题aia_iai为多项式的首项系数,故不为零。又bj≠bkb_j\neq b_kbj=bk,所以上式不为0,引理得证。
上述证明用到了行列式的行线性。在对每一行根据多项式的不同次项分拆行列式时,如果该行留下的不是最高次项,不妨记该行为第i行,那么该行列式的前i行中最多有(i-1)个不同次项,即必有两行留下了相同次项,将这两行的系数提出后会得到相同的两行,即该拆分后的行列式为0.
解答
判断实数域上线性空间中向量组是否线性相关,即判断是否存在一组不全为零的实数k0,k1,k2,⋯ ,knk_0,k_1,k_2,\cdots,k_nk0,k1,k2,⋯,kn,满足k0+∑i=1nkisinix=0k_0 + \sum_{i=1}^{n}k_isinix=0k0+∑i=1nkisinix=0,记为(1)式,该式对∀x∈[−π,π]\forall x\in[-\pi,\pi]∀x∈[−π,π]都成立。
将x=0代入即得k0=0k_0=0k0=0。于是只要判断对∀x∈[−π,π]\forall x\in[-\pi,\pi]∀x∈[−π,π],是否存在一组不全为零的实数k1,k2,⋯ ,knk_1,k_2,\cdots,k_nk1,k2,⋯,kn,满足∑i=1nkisinix=0\sum_{i=1}^{n}k_isinix=0∑i=1nkisinix=0。
不难找到[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上(n+1)个数x1,x2,⋯ ,xn+1x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}x1,x2,⋯,xn+1,使得i≠j(i,j=1,2,⋯ ,n+1)i\neq j(i,j=1,2,\cdots,n+1)i=j(i,j=1,2,⋯,n+1)时,sinxi≠sinxjsinx_i\neq sinx_jsinxi=sinxj。
将上述(n+1)个数分别代入(1)式,即得一个实数域上由(n+1)个方程组成的(n+1)元线性齐次方程组,k1,k2,⋯ ,kn+1k_1,k_2,\cdots,k_{n+1}k1,k2,⋯,kn+1为其变元。该方程组的系数矩阵为A=[1sinx1sin2x1⋯sinnx11sinx2sin2x2⋯sinnx2⋮⋮⋮⋮1sinxn+1sin2xn+1⋯sinnxn+1]A=\begin{bmatrix} 1 & sinx_1 & sin2x_1 & \cdots & sinnx_1\\ 1 & sinx_2 & sin2x_2 & \cdots & sinnx_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & sinx_{n+1} & sin2x_{n+1}& \cdots & sinnx_{n+1}\\ \end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1sinx1sinx2⋮sinxn+1sin2x1sin2x2⋮sin2xn+1⋯⋯⋯sinnx1sinnx2⋮sinnxn+1⎦⎥⎥⎥⎤由于上述线性齐次方程组有非零解等价于矩阵A不满秩,从而问题转变为研究矩阵A是否满秩。
注意到sinnx=(cosx+isinx)n−(cosx−isinx)n2i=∑k=0n(cosx)n−k[(isinx)k−(−isinx)k]2i=−i∑k=02∤kn(cosx)n−k(isinx)k,sinnx=\frac {(cosx+isinx)^n-(cosx-isinx)^n}{2i}\\=\frac{\sum_{k=0}^n(cosx)^{n-k}[(isinx)^k-(-isinx)^k]}{2i}\\
=-i\sum_{\begin{array}{c}
k=0\\
2\not|k
\end{array}}^n(cosx)^{n-k}(isinx)^k,sinnx=2i(cosx+isinx)n−(cosx−isinx)n=2i∑k=0n(cosx)n−k[(isinx)k−(−isinx)k]=−ik=02∣k∑n(cosx)n−k(isinx)k,当n为奇数时,(n−k)(n-k)(n−k)为偶数,(cosx)n−k=[1−(sinx)2]n−k2(cosx)^{n-k}=[1-(sinx)^2]^{\frac{n-k}2}(cosx)n−k=[1−(sinx)2]2n−k,sinnx为复数域上关于sinx的n次多项式。
从而可令fi(x)=sinixf_i(x)=sinixfi(x)=sinix,令f0(x)=1f_0(x)=1f0(x)=1,则A′=[f0(x1)f0(x2)⋯f0(xn+1)f1(x1)f1(x2)⋯f1(xn+1)⋮⋮⋮fn(x1)fn(x2)⋯fn(xn+1)],A'=\begin{bmatrix}
f_0(x_1) & f_0(x_2) & \cdots & f_0(x_{n+1}) \\
f_1(x_1) & f_1(x_2) & \cdots & f_1(x_{n+1}) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_n(x_1) & f_n(x_2) & \cdots & f_n(x_{n+1}) \\
\end{bmatrix},A′=⎣⎢⎢⎢⎡f0(x1)f1(x1)⋮fn(x1)f0(x2)f1(x2)⋮fn(x2)⋯⋯⋯f0(xn+1)f1(xn+1)⋮fn(xn+1)⎦⎥⎥⎥⎤,A’表示A的转置。
由引理可知A满秩。
从而向量组1,sinx,sin2x,sin3x,⋯ ,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx线性无关。
当n为偶数时,(n+1)为奇数,向量组1,sinx,sin2x,sin3x,⋯ ,sin(n+1)x1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sin(n+1)x1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sin(n+1)x线性无关,从而向量组1,sinx,sin2x,sin3x,⋯ ,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx线性无关。
所以对任意正整数n,向量组1,sinx,sin2x,sin3x,⋯ ,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx线性无关。
该线性无关向量组包含(n+1)个向量,所以它的秩为(n+1)。
出处
本题出自蓝以中《高等代数简明教程》第二版上册第四章习题一第6题(5)。引理出自同一本书第三章习题一第27题。
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