第 5 章 树和二叉树_1——数据结构

 1.树的定义——树的定义是采用递归方法

树：n（n≥0）个结点的有限集合。

当n＝0时，称为空树；

任意一棵非空树满足以下条件：

⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点；

⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。

结点的度：结点所拥有的子树的个数。

树的度：树中各结点度的最大值。

叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。

分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点

孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；

兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。

祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。

结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。

树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。

层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。

有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。

森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。

同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。

树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）遍历三种方式。

树的前序遍历操作定义为：

若树为空，不进行遍历；否则 ⑴ 访问根结点；⑵ 按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。

树的后序遍历操作定义为：

若树为空，则遍历结束；否则 ⑴ 按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树； ⑵ 访问根结点。

树的层序遍历操作定义为：

从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

2.树的存储结构

双亲表示法

基本思想：

用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储），数组中的一个元素对应树中的一个结点，每个结点记录两类信息：结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。

data：存储树中结点的数据信息     parent：存储该结点的双亲在数组中的下标

孩子表示法-多重链表表示法

基本思想：

把每个结点的孩子排列起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，则n个结点共有 n 个孩子链表。

特点：将每个结点的所有孩子放在一起，构成线性表。

 孩子兄弟表示法

某结点的第一个孩子是惟一的，某结点的右兄弟是惟一的——>设置两个分别指向该结点的第一个孩子和右兄弟的指针

data：数据域，存储该结点的数据信息；

firstchild：指针域，指向该结点第一个孩子；

rightsib：指针域，指向该结点的右兄弟结点。

3.二叉树的逻辑结构

二叉树的定义 ——二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点——⑴ 每个结点最多有两棵子树； ⑵ 二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。

二叉树的基本形态

特殊的二叉树

斜树

1 .所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树；

2 .所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树；

3.左斜树和右斜树统称为斜树。

          斜树的特点：1. 在斜树中，每一层只有一个结点；2.斜树的结点个数与其深度相同

满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。

满二叉树的特点：1.叶子只能出现在最下一层；2.只有度为0和度为2的结点。

满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多

满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最多

完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。

1. 叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部；

2. 完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。

3. 深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。

 

在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一棵完全二叉树。

4.二叉树的基本性质

性质5-1 二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1）。

性质5-2   一棵深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点，最少有k个结点。

性质5-3   在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有: n0＝n2＋1。

性质5-4  具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n  +1。

 

性质5-5    对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1≤i≤n）的结点（简称为结点i），有：

（1）如果i＞1，则结点i的双亲结点的序号为  i/2；如果i＝1， 则结点i是根结点，无双亲结点。

(2)如果2i≤n，  则结点i的左孩子的序号为2i； 如果2i＞n，则结点i无左孩子。

(3)如果2i＋1≤n，  则结点i的右孩子的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则结点 i无右孩子。

5.二叉树的遍历操作     二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

前序（根）遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则： ①访问根结点； ②前序遍历根结点的左子树； ③前序遍历根结点的右子树。

中序（根）遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则： ①中序遍历根结点的左子树； ②访问根结点； ③中序遍历根结点的右子树。

后序（根）遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则： ①后序遍历根结点的左子树； ②后序遍历根结点的右子树。 ③访问根结点；

层序遍历

二叉树的层次遍历是指从二叉树的第一层（即根结点）开始，从上至下逐层遍历，在同一层中，则按从左到右的顺序对结点逐个访问。

6.顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置（下标）应能体现结点之间的逻辑关系——父子关系。

二叉树的顺序存储结构一般仅存储完全二叉树

7.二叉链表

基本思想：令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点除了存放与二叉树结点有关的数据信息外，还要设置指示左右孩子的指针。

结点 结构：

data：数据域，存放该结点数据信息； lchild：左指针域，存放指向左孩子的指针； rchild：右指针域，存放指向右孩子的指针 

template <class T>

struct BiNode {    

T data;    

BiNode<T> *lchild, *rchild;

};

具有n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针。

前序遍历——递归算法

template   <class T>

void   BiTree::PreOrder(BiNode<T> *root)

{

        if (root ==NULL)  return;

            else {

           cout<<root->data;

                   PreOrder(root->lchild);

                PreOrder(root->rchild);

            }

   }

  int main(){    Bitree bt;    bt.PreOrder();    return ;}

前序遍历的非递归实现

访问结点序列:A,B,D,C

1.栈s初始化（空栈）；

2.循环直到root为空且栈s为空

2.1 当root不空时循环 2.1.1 输出root->data;  

    2.1.2 将指针root的值保存到栈中；

    2.1.3 继续遍历root的左子树（root=root->lchild）

2.2 如果栈s不空，则

     2.2.1 将栈顶元素弹出至root（root=s.pop()）；

     2.2.2 准备遍历root的右子树(root=root->rchild)；

中序遍历——递归算法

template <class T>

void BiTree::InOrder (BiNode<T> *root)

{

         if (root==NULL) return;

             else {

               InOrder(root->lchild);

               cout<<root->data;

               InOrder(root->rchild);

         }

  }

非递归中序遍历二叉树

1.栈s初始化（空栈）；

2.循环直到root为空且栈s为空 2.1 当root不空时循环

        2.1.1 将指针root的值保存到栈中；

        2.1.2 继续遍历root的左子树（root=root->lchild）

2.2 如果栈s不空，则

        2.2.1 将栈顶元素弹出至root（root=s.pop()）；

        2.2.2 输出root->data;

        2.2.3 准备遍历root的右子树(root=root->rchild)；

后序遍历——递归算法

template <class T>

void BiTree::PostOrder(BiNode<T> *root)

{     if (root==NULL) return;

    else {

         PostOrder(root->lchild);

         PostOrder(root->rchild);

         cout<<root->data;

              }

 }

非递归后序遍历二叉树

算法分析

1.定义一个栈；从根节点出发开始遍历，p=root，如果，root==NULL, 不进行遍历； 2.无条件进行下面的工作

①如果指针不空，指针打上left标记，并将指针进栈，执行②;否则，执行③

②p=p->lchild,重复①

③栈顶元素出栈P

④查看P的标志，如果标志为right,进行下面的工作，否则，执行⑤

访问当前节点P 如果栈空 ，算法结束； 否则，栈顶元素出栈，转④

⑤修改P的标志，让P重新入栈，p=P->rchild,执行2

二叉树的非递归遍历总结

都是沿着左分支访问，直到左分支为空时，再依次对栈中节点的右分支进行处理。（遵循从左至右的遍历原则，体现深度优先搜索的思想）

前序遍历：每个节点只进栈一次，在进栈前访问节点

中序遍历：每个节点进栈一次，在出栈时访问节点

后序遍历：每个节点进栈两次，在第二次出栈时访问节点

8. 二叉树的建立

设二叉树中的结点均为一个字符。假设扩展二叉树的前序遍历序列由键盘输入，root为指向根结点的指针，二叉链表的建立过程是：1.按扩展前序遍历序列输入结点的值

2.如果输入结点值为“#”,则建立一棵空的子树

3.否则，根结点申请空间，将输入值写入数据域中，

4.以相同方法的创建根结点的左子树

5.以相同的方法创建根结点的右子树 递归方法

 

 

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