牛客练习赛51 E 数列 （二分 + 贪心 + 思维）

大致题意

思路

关键在于贪心的证明比较有启发性。
官方题解：

链接：https://ac.nowcoder.com/discuss/248083?type=101

对于一个数列，如果其一个子数列a[i],a[i+1]…a[j-1],a[j]满足a[k]=a[k-1]+1(i+1<=k<=j)，同时，也满足i-1<1或者a[i]!=a[i-1]+1,j+1>n或者a[j+1]!=a[j]+1，则我们称这样的子数列为一段。我们可以发现，假如数列中有sum个这样的段，则小乔对数列的喜爱度为n-sum。因为数列是可以自由填数的，所以对与每一段我们使得a[i]=1是最优的，a[i],a[i+1]…a[j-1],a[j]显然。于是对于每一段，如果这段的长度为s,按最优的方法填数，则这一段的总和为s*(s+1)/2。
于是问题转换为：
把数列n分成sum个段，要求最小化sum，并且所有段的总和<=m。
设这sum段中长度最小的段长度为mn，长度最大的段长度为mx，可以发现如果我们已知了sum，那么要使这sum段的总和最小，就要使得mn和mx尽可能的接近，因为如果mx-mn>=2,那么段mx的最后一个元素的值为mx,段mn最后一个元素的值为mn，那么我们使段mx的长度-1，mn的长度加1。那么总和的变化就是总和=总和-mx+mn+1。因为mx-mn>=2，所以mx>mn+1。
因此如果得知sum，最优的策略就是均分所有段的长度。
均分的方法就是，首先使每一段的长度为n/sum，剩余n%sum个匀速均分配到n%sum个段上去。
于是有n%sum个段的长度为n/sum+1,n-n%sum个段的长度为n/sum。
对于sum，我们二分答案，因为答案具有单调性，分段越多，可以使总和越小。
通过二分答案求出sum再构造数列即可。时间复杂度O(logn+n)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 405
#define maxm 1000006
#define ll long long int
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define sqr(x) (x*x)
#define inf (ll)2e18+1
int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f*x;
}
int n,m;
bool pd(int x){
int len=n/x;
int last=n%x;
ll ss=1ll*len*(len+1)/2;
ll ee=ss+len+1;
return 1ll*(x-last)*ss+1ll*last*ee <= m;
}
int main()
{
n=read();m=read();
int l=1,r=n,ans=1;
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(pd(mid)){
ans=mid;
r=mid-1;
}
else l=mid+1;
}
//printf("ans = %d\n",ans);
int p=n%ans;
int len=n/ans;
inc(i,1,p)inc(j,1,len+1)printf("%d ",j);
inc(i,1,ans-p)inc(j,1,len)printf("%d ",j);
printf("\n");
return 0;
}