周志华《机器学习》同步学习笔记 ——第十章降维与度量学习

• 10.1 k近邻学习
• 10.2 低纬嵌入
• 10.3 主成分分析
• 10.4 核化线性降维
• 10.5 流形学习
• 10.5.1 等度量映射
• 10.5.2 局部线性嵌入

10.1 k近邻学习

k近邻学习即kNN（k-Nearest Neighbor）是一种常用的监督学习方法：给定某个测试样本，基于某种距离度量在训练集中找出与其距离最近的k个带有真实标记的训练样本，然后给基于这k个邻居的真实标记来进行预测——分类任务采用投票法，回归任务则采用平均法。
虽然是一种监督学习方法，但是它却没有显式的训练过程，而是当有新样本需要预测时，才来计算出最近的k个邻居。
因此kNN是一种“懒惰学习”方法：在训练阶段只把样本保存起来，训练时间开销为0。
对应有“急切学习”：=在训练阶段就对样本进行学习处理

由K近邻的示意图可看出近邻数k以及距离计算方式是重要的影响因素。
如果取K=1，它变成为“最近邻分类器”（1NN），在二分类问题上，它的泛化错误率不超过贝叶斯最优分类器的错误率的两倍。

10.2 低纬嵌入

k近邻学习的前提是进行了“密度采样”：采样密度足够大。现实问题中若为了满足这个条件，需要非常多的样本。其中也会涉及到距离计算，而高纬空间也会给计算带来麻烦。这就是维数灾难
为此，需要进行降维。同时需要原始空间中样本之间的距离在低纬空间得以保持，可以用多维缩放（MDS）方法。
假定m个样本在原始空间中任意两两样本之间的距离矩阵为D∈R(m∗m)D∈R(m∗m)D∈R(m∗m) 我们的目标便是获得样本在低维空间中的表示Z∈R(d’∗m,d’＜d)Z∈R(d’∗m,d’＜d)Z∈R(d’∗m,d’＜d)，且任意两个样本在低维空间中的欧式距离等于原始空间中的距离，即∣∣zi−zj∣∣=Distij∣∣z_i−z_j∣∣=Dist_{ij}∣∣zi​−zj​∣∣=Distij​ 因此接下来我们要做的就是根据已有的距离矩阵D来求解出降维后的坐标矩阵Z。

令降维后的样本坐标矩阵Z被中心化：将每个样本向量减去整个样本集的均值向量，则所有样本向量求和得到一个零向量。
易知：矩阵B的每一列以及每一列求和均为0，因为提取公因子后都有一项为所有样本向量的和向量。
那么可得：

由此可通过降维前后保持不变的距离矩阵DDD求取内积矩阵BBB ，即bij=−12(distij2−disti⋅2−dist⋅j2−dist⋅⋅2)b_{ij} = -\frac{1}{2}(dist_{ij}^{2}-dist_{i\cdot }^{2}-dist_{\cdot j }^{2}-dist_{\cdot\cdot }^{2})bij​=−21​(distij2​−disti⋅2​−dist⋅j2​−dist⋅⋅2​)
)，再逐一地计算每个bijb_{ij}bij​，就得到了降维后低维空间中的内积矩阵B(B=Z’∗Z)B(B=Z’∗Z)B(B=Z’∗Z)，只需对BBB进行特征值分解便可以得到ZZZ
流程：

10.3 主成分分析

主成分分析（PCA）直接通过一个线性变换，将原始空间中的样本投影到新的低维空间中：采用一组新的基来表示样本点，其中每一个基向量都是原来基向量的线性组合
这样做实质就是将样本投射到d′(d′&lt;d)d&#x27;(d&#x27;&lt;d)d′(d′<d)个基向量确定的超平面上（舍弃了一些维度）。要求这个超平面有下面两个性质：

最近重构性：样本点到超平面的距离足够近，即尽可能在超平面附近；
最大可分性：样本点在超平面上的投影尽可能地分散开来，即投影后的坐标具有区分性。

从上面两个出发点来寻找目标函数会得到相同的优化问题：

根据最大重构性

用拉格朗日乘子法求解：

XXT\mathbf{XX^{T}}XXT是X中心化后的协方差矩阵
对协方差矩阵进行特征值分解即可求解出W
流程：

相关博客：https://www.geek-share.com/detail/2514132260.html

10.4 核化线性降维

对于不是线性分布的样本数据点，为了用超平面来近视表示，引入了核函数：先将样本映射到高维空间，再在高维空间中使用线性降维
核主成成分分析（KPCA）是一种常用方法。

若核函数形式已知，即先将数据映射到高维特征空间，再在高维空间中运用PCA。

但一般情况下并不知道核函数的具体映射规则，这时候

但是KPCA在计算降维后的坐标表示时，需要与所有样本点计算核函数值并求和，因此该算法的计算开销十分大。

10.5 流形学习

流形学习（manifold learning）是一种借助拓扑流形概念的降维方法，流形是指在局部与欧式空间同胚的空间，即在局部与欧式空间具有相同的性质，能用欧氏距离计算样本之间的距离。这样即使高维空间的分布十分复杂，但是在局部上依然满足欧式空间的性质。
等度量映射（Isomap）试图在降维前后保持邻域内样本之间的距离
局部线性嵌入（LLE）则是保持邻域内样本之间的线性关系

10.5.1 等度量映射

高维空间中的直线距离具有误导性，因为有时高维空间中的直线距离在低维空间中是不可达的。因此要利用流形在局部上与欧式空间同胚的性质，可以使用近邻距离来逼近测地线距离：对于一个样本点，它与近邻内的样本点之间是可达的，且距离使用欧式距离计算。
这样高维空间中两个样本之间的距离就转为最短路径问题。
可采用Dijkstra算法或Floyd算法计算最短距离，得到高维空间中任意两点之间的距离后便可以使用MDS算法来其计算低维空间中的坐标。
Isomap算法流程：

近邻图的构建，常用的有两种方法：

1. 指定近邻点个数，比如欧氏距离最近的k个点为近邻点
2. 指定距离阈值，小于距离阈值的点认为是近邻点。

若邻域范围指定过大，则会造成“短路问题”，即本身距离很远却成了近邻
若邻域范围指定过小，则会造成“断路问题”，即有些样本点无法可达了

10.5.2 局部线性嵌入

局部线性嵌入(LLE)试图去保持邻域内的线性关系.假定样本xi的坐标可以通过它的邻域样本线性表出：

希望在低纬空间保持这个关系
LLE分为两步，先根据近邻关系计算出所有样本的邻域重构系数 ω\omegaω

接着根据邻域重构系数不变，去求解低纬坐标

优化问题：

利用矩阵MMM的特征值分解进行求解
流程：

10.6 度量学习

之前的降维方法都是将原空间映射到合适的低纬空间再进行学习。度量学习则是直接“学习”一个合适的距离度量。
首先要定义一个合适的距离度量形式：

可以加入属性权重：

以上属性间是互相独立无关，若属性间有相关性，可以用马氏距离：

矩阵M也称为“度量矩阵”，为保证距离度量的非负性与对称性，M必须为(半)正定对称矩阵（M=PPT\mathbf{M=PP^{T}}M=PPT），这样就为度量学习定义好了距离度量的形式。
对M进行学习需要设置目标，假定需要提高某种分类器的性能，可以将M嵌入到分类器的评价指标中去，通过优化这一性能指标来求得M。
比如对于近邻成分分析（NCA） —>P239，优化目标即为