数据结构——树状数组篇

  线段树是一个很好的维护区间关系的这样的一个数据结构，但是，很多时候我们可以用更小空间、更快速度（更大尺寸呢、，全景天窗，五菱宏光？）的数据结构来维护一个前缀关系。

  上面的这张图是表示的一个有8个叶子节点的线段树，接下去，我们给它进行一个变形：

然后呢，我们把2、4、6、8、……这样的元素推到最顶端的空上边去，想让2表示1～2这段区间，让4表示1～4这段区间，让6表示5～6这段区间，让8表示1～8这段区间。

然后，这张图就变成了这样：

那么，我们知道了2、4、6、8可以表示的区间，诶～那其他的区间（前缀关系）呢！古人（比我老的都是古人！）想到了一种很巧妙的解决的方法，我们来举例说明：
我们想求1～1的时候，是不是就是A[1]；

想求1～3的时候，是不是A[3]和A[2]两个这样的关系式，因为A[3]只表示3～3这个区间，如图；

想求1～5的时候，我们就要用A[5]、A[4]这两个关系式了；

求1～6的时候，要用A[6]、A[4]这两个式子了；

1～7呢，是A[7]、A[6]、A[4]这三个关系的统筹了。

从中，我们能否找到什么规律？

  首先，我们知道树状数组仍然是跟线段树一样是一棵二叉搜索树（BIT），性质仍然没有改变。那么，我们不妨溯本求源从二进制的角度来思考问题。

我们将这8个数都转换成二进制来看，

1 = （0001）—— Q[1] = A[1];

2 = （0010）—— Q[2] = A[2];

3 = （0011）—— Q[3] = A[3] + A[2];

4 = （0100）—— Q[4] = A[4];

5 = （0101）—— Q[5] = A[5] + A[4];

6 = （0110）—— Q[6] = A[6] + A[4];

7 = （0111）—— Q[7] = A[7] + A[6] + A[4];

8 = （1000）—— Q[8] = A[8];

从中我们是不是可以发现，我们想求1～x的一个前缀的关系，是不是就可以把x看成二进制再进行求解：看到7 = （0111）是不是可以把7看成Q[7] = Q[ (0111) ] = A[ (0111) ] + A[ (0110) ] + A[ (0100) ]这样的一个关系，我们不难发现，对于7是不是每次去除的都是其二进制上的最后一位1，直到为0停止运算，譬如（0111）->（0110）我们去除了最末尾的1，（0110）->（0100）也是去除了最末尾的那个1。

Problem：怎么去除某数最末尾的那个1？

  Q1:从0开始跑一遍for(i, 0~31)循环判断到某一位"（x>>i） & 1"是不是为1？——好浪费时间的说～（留给……的时间不多了！）（脱口而出！

  Q2:new algorithm？新的算法？不是新的哦～是一个我们平时没有关注到的一个小玩意！

方法一：

  如何消除二进制中最后一个位1？利用n &= (n - 1)就可以做到。（手动模拟下下哦，31为二进制好长的说呢QAQ）（雾

方法二：

  这时候就要回到C语言的课本知识了，我们知道负数的补码是怎样计算的呢？

  举个例子：6 = （0110），那么（-6）=（1001 + 1）=（1010）

  也就是先对所有位置取反，然后再"+1"这样的一个过程。那么，好巧喔，是不是发现“x&(-x)”就是我们所要删除的最后一位的1的对应的值？

给个好听的名字吧，就叫lowbit()吧！

这里还有一道还不错的题！lowbit()的「藏起来

[code]#define lowbit(x) ( x&(-x) )

  我习惯把它放在头文件里边，因为真的很常用的！

到这里，我们是不是知道了大致上该怎样去查找，那么，更新哩，一开始的树状数组是不是空的？所以，我们需要去更新它！

看到图片，再手动模拟一下给大家看看，我们要更新以下的序号，那么哪几位是需要改变的呢？（我们把图放下来继续看着图）

1（0001）—— A[1]、A[2]、A[4]、A[8];

2（0010）—— A[2]、A[4]、A[8];

3（0011）—— A[3]、A[4]、A[8];

4（0100）—— A[4]、A[8];

5（0101）—— A[5]、A[6]、A[8];

6（0110）—— A[6]、A[8];

7（0111）—— A[7]、A[8];

8（1000）—— A[8];

  在这里，我们不难发现，更新的时候与查询相反，我们是去给最低位的1上加上1，然后不断的向前进位，就可以把对应的关系我们存进去。

  这里给出一个求前缀和的模板(My Code)：

[code]#define lowbit(x) ( x&(-x) )
int A[maxN], N, M;    //maxN是根据题目的呢
inline void add(int x, int v)    //第x位，给它加上v的权
{
if(!x) return;    //没有这个有可能会死循环哦，牢记！！！
while(x <= N)
{
A[x] += v;
x += lowbit(x);
}
}
inline int query(int i)    //查询1～i的和
{
int ans = 0;
while(i)
{
ans += A[i];
i -= lowbit(i);
}
return ans;
}

 

对了，就像Code里面讲的那样，我们更新的时候，如果没有：

[code]if(!x) return;

是有可能会死循环的（有些地方会改变0处的值，我们得想办法去处理它的！）。

为什么会死循环！？是因为lowbit(x)也是0呀。然后就永远永远的加不到N了（雾

 

好啦。树状数组的基本操作就讲到这里叭，自我感觉良好～（膨胀ing？🎵）

真的没有彩蛋了，别往下看了。

没彩蛋了…… 

没彩蛋了。

没了哦。。

 

 

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