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2019-07-19 19:32 120 查看

    在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中,我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题,因此很难处理长序列的数据,大牛们对RNN做了改进,得到了RNN的特例LSTM(Long Short-Term Memory),它可以避免常规RNN的梯度消失,因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。

1. 从RNN到LSTM

    在RNN模型里,我们讲到了RNN具有如下的结构,每个序列索引位置t都有一个隐藏状态\(h^{(t)}\)。

    如果我们略去每层都有的\(o^{(t)}, L^{(t)}, y^{(t)}\),则RNN的模型可以简化成如下图的形式:

    图中可以很清晰看出在隐藏状态\(h^{(t)}\)由\(x^{(t)}\)和\(h^{(t-1)}\)得到。得到\(h^{(t)}\)后一方面用于当前层的模型损失计算,另一方面用于计算下一层的\(h^{(t+1)}\)。
    由于RNN梯度消失的问题,大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进,可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来,来避免梯度消失的问题,这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种,这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图:

    可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多,真佩服牛人们怎么想出来这样的结构,然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题?由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题,我也不是很熟悉,这里就不多说,重点回到LSTM的模型本身。

 2. LSTM模型结构剖析

    上面我们给出了LSTM的模型结构,下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。
    从上图中可以看出,在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态\(h^{(t)}\),还多了另一个隐藏状态,如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State),记为\(C^{(t)}\)。如下图所示:

    除了细胞状态,LSTM图中还有了很多奇怪的结构,这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门,输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门,输入门和输出门以及细胞状态。

 2.1 LSTM之遗忘门

    遗忘门(forget gate)顾名思义,是控制是否遗忘的,在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示:

    图中输入的有上一序列的隐藏状态\(h^{(t-1)}\)和本序列数据\(x^{(t)}\),通过一个激活函数,一般是sigmoid,得到遗忘门的输出\(f^{(t)}\)。由于sigmoid的输出\(f^{(t)}\)在[0,1]之间,因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为:\[f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} + U_fx^{(t)} + b_f)\]
    其中\(W_f, U_f, b_f\)为线性关系的系数和偏倚,和RNN中的类似。\(\sigma\)为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

    输入门(input gate)负责处理当前序列位置的输入,它的子结构如下图:

    从图中可以看到输入门由两部分组成,第一部分使用了sigmoid激活函数,输出为\(i^{(t)}\),第二部分使用了tanh激活函数,输出为\(a^{(t)}\), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为:\[i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)\]\[a^{(t)} =tanh(W_ah^{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)\]
    其中\(W_i, U_i, b_i, W_a, U_a, b_a,\)为线性关系的系数和偏倚,和RNN中的类似。\(\sigma\)为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

    在研究LSTM输出门之前,我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态\(C^{(t)}\)。我们来看看从细胞状态\(C^{(t-1)}\)如何得到\(C^{(t)}\)。如下图所示:

    细胞状态\(C^{(t)}\)由两部分组成,第一部分是\(C^{(t-1)}\)和遗忘门输出\(f^{(t)}\)的乘积,第二部分是输入门的\(i^{(t)}\)和\(a^{(t)}\)的乘积,即:\[C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}\]
    其中,\(\odot\)为Hadamard积,在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

    有了新的隐藏细胞状态\(C^{(t)}\),我们就可以来看输出门了,子结构如下:

    从图中可以看出,隐藏状态\(h^{(t)}\)的更新由两部分组成,第一部分是\(o^{(t)}\), 它由上一序列的隐藏状态\(h^{(t-1)}\)和本序列数据\(x^{(t)}\),以及激活函数sigmoid得到,第二部分由隐藏状态\(C^{(t)}\)和tanh激活函数组成, 即:\[o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} + U_ox^{(t)} + b_o)\]\[h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})\]
    通过本节的剖析,相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然,有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同,但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

    现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态\(h^{(t)}, C^{(t)}\),模型参数几乎是RNN的4倍,因为现在多了\(W_f, U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o\)这些参数。
    前向传播过程在每个序列索引位置的过程为:
    1)更新遗忘门输出:\[f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} + U_fx^{(t)} + b_f)\]
    2)更新输入门两部分输出:\[i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)\]\[a^{(t)} = tanh(W_ah^{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)\]
    3)更新细胞状态:\[C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}\]
    4)更新输出门输出:\[o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} + U_ox^{(t)} + b_o)\]\[h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})\]
    5)更新当前序列索引预测输出:\[\hat{y}^{(t)} = \sigma(Vh^{(t)} + c)\]

4.  LSTM反向传播算法推导关键点

    有了LSTM前向传播算法,推导反向传播算法就很容易了, 思路和RNN的反向传播算法思路一致,也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数,关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。
    在RNN中,为了反向传播误差,我们通过隐藏状态\(h^{(t)}\)的梯度\(\delta^{(t)}\)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态\(h^{(t)}\)和\(C^{(t)}\)。这里我们定义两个\(\delta\),即:\[\delta_h^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}\]\[\delta_C^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial C^{(t)}}\]
    为了便于推导,我们将损失函数\(L(t)\)分成两块,一块是时刻\(t\)位置的损失\(l(t)\),另一块是时刻\(t\)之后损失\(L(t+1)\),即:\[L(t) = \begin{cases} l(t) + L(t+1) &amp; \text{if} \, t <; \tau \\ l(t) &amp; \text{if} \, t = \tau\end{cases}\]    
    而在最后的序列索引位置\(\tau\)的\(\delta_h^{(\tau)}\)和 $\delta_C^{(\tau)} \(为:\)\(\delta_h^{(\tau)} =(\frac{\partial O^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}})^T\frac{\partial L^{(\tau)}}{\partial O^{(\tau)}}  = V^T(\hat{y}^{(\tau)} - y^{(\tau)})\)\[$\delta_C^{(\tau)} =(\frac{\partial h^{(\tau)}}{\partial C^{(\tau)}})^T\frac{\partial L^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}}  = \delta_h^{(\tau)} \odot  o^{(\tau)} \odot (1 - tanh^2(C^{(\tau)}))\]
    接着我们由\(\delta_C^{(t+1)},\delta_h^{(t+1)}\)反向推导\(\delta_h^{(t)}, \delta_C^{(t)}\)。
    \(\delta_h^{(t)}\)的梯度由本层t时刻的输出梯度误差和大于t时刻的误差两部分决定,即:\[  \delta_h^{(t)} =\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}  =\frac{\partial l(t)}{\partial h^{(t)}} + ( \frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}})^T\frac{\partial L(t+1)}{\partial h^{(t+1)}}  = V^T(\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}) + (\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}})^T\delta_h^{(t+1)} \]
    整个LSTM反向传播的难点就在于$ \frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}\(这部分的计算。仔细观察,由于\)h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})\(, 在第一项\)o^{(t)}\(中,包含一个\)h\(的递推关系,第二项\)tanh(C^{(t)})\(就复杂了,\)tanh\(函数里面又可以表示成:\)\(C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}\)$
    \(tanh\)函数的第一项中,\(f^{(t)} \)包含一个\(h\)的递推关系,在\(tanh\)函数的第二项中,\(i^{(t)}\)和\(a^{(t)}\)都包含\(h\)的递推关系,因此,最终$ \frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}$这部分的计算结果由四部分组成。即:
\[\Delta C = o^{(t+1)} \odot [1-tanh^2(C^{(t+1)})]\]
\[\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}} = W_o^T [o^{(t+1)} \odot (1-o^{(t+1)}) \odot tanh(C^{(t+1)})] +  W_f^T [\Delta C  \odot f^{(t+1)} \odot (1-f^{(t+1)}) \odot C^{(t)}] + W_a^T \{ \Delta C  \odot i^{(t+1)} \odot [1-(a^{(t+1)})^2] \}  + W_i^T [\Delta C  \odot a^{(t+1)} \odot  i^{(t+1)}  \odot (1-i^{(t+1)})]\]
    而\(\delta_C^{(t)}\)的反向梯度误差由前一层\(\delta_C^{(t+1)}\)的梯度误差和本层的从\(h^{(t)}\)传回来的梯度误差两部分组成,即:\[\delta_C^{(t)} =(\frac{\partial  C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}} )^T\frac{\partial L}{\partial C^{(t+1)}} + (\frac{\partial h^{(t)}}{\partial C^{(t)}} )^T\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}= (\frac{\partial  C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}} )^T\delta_C^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot  o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)})) = \delta_C^{(t+1)} \odot f^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot  o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)}))\]
    有了\(\delta_h^{(t)}\)和\(\delta_C^{(t)}\), 计算这一大堆参数的梯度就很容易了,这里只给出\(W_f\)的梯度计算过程,其他的\(U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o,V, c\)的梯度大家只要照搬就可以了。\[\frac{\partial L}{\partial W_f} =\sum\limits_{t=1}^{\tau} [\delta_C^{(t)} \odot C^{(t-1)} \odot f^{(t)}\odot(1-f^{(t)})] (h^{(t-1)})^T\]

5. LSTM小结

    LSTM虽然结构复杂,但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系,进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法,这些有算法库帮你搞定,模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过,理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。
(欢迎转载,转载请注明出处。欢迎沟通交流: liujianping-ok@163.com)

参考资料:

1) Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen
2) Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville
3) UFLDL Tutorial
4)Understanding-LSTMs

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