算法入门——part1.基础知识（下）

• 1.递归式
• 代换法
• 递归树法
• 主方法

• 背景：雇佣问题
• 概率分析
• 随机算法

1.递归式

一般来说，最坏时间复杂度由递归式给出，为求出其渐进的界以判断复杂度大小，需求解递归式。
主要有三种方法：代入法、递归树法和主方法。

代换法

使用：先猜测某个界的存在，再用数学归纳法去证明该猜测的正确性。
诀窍：多用于解的形式很容易猜，或者与自己之前记得的递归式相似的情形。

递归树法

使用：将递归式转化成树形结构，在递归树中，每一个结点都代表递归函数调用集合中一个子问题的代价。将递归树中每一层内的代价相加得到一个每层代价的集合，再将每层的代价相加得到递归式所有层次的总代价。
诀窍：适合用来产生好的猜测，然后用代换法加以验证。

主方法

使用：直接给出形如T(n) = af(n/b) + f(n)的递归式的界，如下：

2.概率分析和随机算法

背景：雇佣问题

假设你要雇佣一个新的办公室助理。雇佣代理每天给你推荐一个应聘者，由你面试这个人，如果这个应聘者比目前的办公室助理更优秀，你就会辞掉当前的办公室助理，然后聘用这个新的。面试一个人需付给雇佣代理一笔费用，聘用办公助理也需要费用，并且，当你雇佣一个人时，需要支付给雇佣代理一大笔中介费。你想要预测这种费用。
可写成伪代码如下：

HIRE-ASSISTANT(n)
1 best←0 △candidate 0 is a least-qualified dummy candidate
2 for i←1 to n
3   do interview candidate i
4     if candidate i is better than candidate best
5       then best←i
6         hire candidate i

概率分析

概率分析是在问题的分析中应用概率技术。大多数情况下，我们使用概率分析来分析一个算法的运行时间。有时候也用它分析其他的量，例如程序HIRE ASSISTANT中的雇佣费用问题。

在雇用问题中，易知最优候选人先出现显然比后出现所要花费的中介费少。可以假设n个应聘者以能力排序。但是，应聘者以随机的顺序出现，就等于说这个出现顺序是数字1到n的n!种排列中的任何一个，在n!种可能的组合中，每一种都以相等的概率出现。

随机算法

在雇用问题中，看起来应聘者好像是以随机的顺序出现的，但是我们无法知道这是否正确。因此为了设计雇用问题的一个随机算法，必须对面试应聘者的次序有更大控制。所以要稍微改变这个模型。假设雇用代理有n个应聘者，而且事先给我们一份应聘者的名单。每天我们随机选择其中一个来面试。
则需要改动伪代码如下：

RANDOMIZED-HIRE-ASSISTANT(n)
1 randomly permute the list of candidates
2 best←0 △candidate 0 is a least-qualified dummy candidate
3 for i←1 to n
4   do interview candidate i
5     if candidate i is better than candidate best
6       then best←i
7         hire candidate i