数据结构与算法——堆与堆排序

堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称

堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

• 堆是一棵完全二叉树
• 堆中每一个节点的值都必须大于等于(或者小于等于)其子树中每个节点的值

下面解释一下这两点性质：

第一点，堆必须是一个完全二叉树。完全二叉树我们之前学习过，完全二叉树要求，除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

第二点，堆中的每个节点的值必须大于等于(或者小于等于)其子树中每个节点的值。实际上，采用递归的定义方式可以说成，堆中每个节点的值都大于等于(或者小于等于)其左右子节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

其中第1个和第2个是大顶堆，第3个是小顶堆，第四个不是堆(非完全二叉树)。除此之外我们发现，与二叉排序树一样，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆(但是树的高度是相同的)。

堆的实现

我们之前在学习完全二叉树的时候，讲过完全二叉树比较适合用数字来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯的通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。下面给出一个用数组存储堆的例子：

 从图中可以看到，数组中下标为i的节点的左子节点，就是下标为i*2的节点，右子节点就是下标为2*i+1的节点，父节点就是下标为i/2的节点。

堆的插入操作

往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。如果我们把新插入的元素直接放到堆的最后，那么有可能就不符合堆的第二个性质了。于是我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们叫作——堆化(heapify)。

堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。先学习从下往上的方法：

堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。这里给出一张堆化(从下往上)的过程分解图。整个过程就是不断与父节点比较，交换的过程，直到父子节点满足堆的第二条性质或者遇到根节点。

下面给出插入操作的实现代码：

[code]const int Heap_Size = 100;
class Heap
{
private:
int a[Heap_Size];
int count;
public:
Heap() { count = 0; }
void insert(int data);
}

void Heap::insert(int data)
{
if (count >= Heap_Size) return;
a[++count] = data;
int i = count;
while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2])
{
swap(a[i], a[i/2]);
i = i/2;
}
}

堆的删除操作(删除堆顶元素)

从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于(或者小于)等于子树节点的值，我们能够知道，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。如果我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代的选取第二大节点，填补父节点的空缺，依此类推，直到叶子节点。这里给出删除操作的示意图：

但是这种从上往下不断填补空洞的调整方法，最后堆化除了的堆有可能并不满足完全二叉树的特性。实际上，我们可以改变一下思路，先把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比的方法。不过这一次我们不再是填补，而是对于不满足父子节点大小关系的进行相互交换，直到父子节点之间的关系满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

下面给出删除操作的实现代码：

[code]void removeMax()
{
if (count == 0) return;
a[1] = a[count];
--count;
heapify(a, count, 1);
}

void heapify(int a[], int n, int i)
{
while (true)
{
int maxPos = i;
if (i * 2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i * 2;    // 存在左子节点，且a[i]小于其左子节点
if (i * 2 + 1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i * 2 + 1;    // 存在右子节点，且a[i]小于其右子节点
if (maxPos == i) break;    // 若以上两点均不满足，无需堆化，直接退出
swap(a[i], a[maxPos]);
i = maxPos;                // 继续向下堆化
}
}

 我们知道一个包含n个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 。堆化的过程是顺着节点所在的路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是O(logn)。

堆排序

我们之前学习过很多排序算法，其中有时间复杂度为O(n²)的冒泡排序、插入排序、选择排序，有时间复杂度是O(nlogn)的归并排序、快速排序，还有线性排序。我们借助堆这种数据结构实现的排序算法，称为堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是O(nlogn)，并且它还是原地排序。

我们把堆排序的过程大致分解成两个大的步骤：建堆和排序。

• 建堆

首先将数组原地建成一个堆，所谓“原地”就是不借助另一个数组，在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。

第一种是借助之前堆的插入操作的思想。尽管数组中包含n个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为1的数据。然后，我们调用前面所讲的插入操作，将下标从2到n的数据依次插入到堆中。这样就将包含n个数据的数组，组织成了堆。

第二种的实现思路跟第一种截然相反，第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

下面给出第二种建堆实现思路的分解步骤图：

下面给出第二种建堆的实现代码：

[code]void buildHeap(int a[], int n)
{
for (int i = n/2; i >= 1; --i)
{
heapify(a, n, i);
}
}

void heapify(int a[], int n, int i)
{
while (true)
{
int maxPos = i;
if (i * 2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i * 2;    // 存在左子节点，且a[i]小于其左子节点
if (i * 2 + 1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i * 2 + 1;    // 存在右子节点，且a[i]小于其右子节点
if (maxPos == i) break;    // 若以上两点均不满足，无需堆化，直接退出
swap(a[i], a[maxPos]);
i = maxPos;                // 继续向下堆化
}
}

我们发现，我们在堆化的过程中是从下标为n/2开始到1的数据进行堆化，下标是n/2+1到n的节点叶子节点，我们不需要堆化 。实际上，对于完全二叉树来说，下标从n/2+1到n的节点都是叶子节点。

我们现在来分析建堆操作的时间复杂度，每个节点堆化的时间复杂度是O(logn)，那么n/2个节点堆化的总时间复杂度是不是就是O(nlogn)呢？这个答案虽然也没错，但是这个值还是不够精确。实际上，堆排序的建堆过程的时间复杂度是O(n)。现在来推导一下：

因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换节点的个数，跟这个节点的高度k成正比。我们把每一层的节点个数和对应的高度画出来，根据下图，我们只需要将每个节点的高度求和，得出的就是构建堆的时间复杂度。

我们将每个非叶子节点的高度求和，就是下面的这个公式：

[code]S1=(2^0) * h + (2^1) * (h-1) + (2^2) * (h-2) + (2^3) * (h-3) + ... + (2^k) * (h-k) + ... + (2^(h-1)) * 1

 这个公式就是我们经常遇到的等比数列与等差数列乘积的组合数列，求解的方法是：把公式左右都乘以2，就得到另一个公式S2。我们将S2错位对齐，并用S2减去S1，就可以得到S。这里直接给出最终的公式S：

[code]S = -h + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^k + ... + 2^(h-1) + 2^h
S = -h + ((2^h) - 2) + 2^h = 2^(h+1) - h - 2

因为 ，带入公式S，就能得到S=O(n)，所以，建堆的时间复杂度就是O(n)。

• 排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为n的位置。这个过程有点类似“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为n的元素放到堆顶，然后通过堆化的方法，将剩下的n-1个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是n-1的位置，一直重复这个过程，知道最后堆中只剩下标为1的一个元素，排序工作就完成了。

下面给出堆排序的实现代码：

[code]void sort(int a[], int n)
{
buildHeap(a, n);
int k = n;
while (k > 1)
{
swap(a[1], a[k]);
--k;
heapify(a, k, 1);
}
}

 现在，再来分析一下堆排序的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性：

• 整个堆排序的过程，都只需要极个别的临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。
• 堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆的时间复杂度是O(n)，排序过程的时间复杂度是O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是O(nlogn)。
• 堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程中，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

最后需要注意的是，以上关于堆排序的所有操作都是假设数组当中的数据是从下标为1开始存储的，如果数组数据是由0开始存储的话，处理的思路不变，只需将计算子节点和父节点的下标公式即可。如果节点的下标是i，那左子节点的下标就是2*i+1，右子节点的下标就是2*i+2，父节点的下标就是(i-1)/2。

堆排序与快速排序

首先这里思考一个问题，在实际开发中，为什么快速排序要比堆排序性能好？

• 第一点，堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。

对于快速排序来说，数据是顺序访问的。而对于堆排序来说，数据是跳着访问的。比如，堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化。比如下面的这个例子，对堆顶节点进行堆化，会依次访问数组下标是1，2，4，8的元素，而不是像快速排序那样，局部依次访问，所以，这样对CPU缓存是不友好的。

•  第二点，对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。

我们在学习快速排序中，提过两个概念，有序度和逆序度。对于基于比较的排序算法来说，整个排序过程就是由两个基本的操作组成的，比较和交换(移动)。快速排序数据交换的次数不会比逆序度多。但是堆排序的第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低。比如，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。