【数据结构与算法】内部排序之三：堆排序（含完整源码）

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前言

    堆排序、快速排序、归并排序（下篇会写这两种排序算法）的平均时间复杂度都为O（n*logn）。要弄清楚堆排序，就要先了解下二叉堆这种数据结构。本文不打算完全讲述二叉堆的所有操作，而是着重讲述堆排序中要用到的操作。比如我们建堆的时候可以采用堆的插入操作（将元素插入到适当的位置，使新的序列仍符合堆的定义）将元素一个一个地插入到堆中，但其实我们完全没必要这么做，我们有执行操作更少的方法，后面你会看到，我们基本上只用到了堆的删除操作，更具体地说，应该是删除堆的根节点后，将剩余元素继续调整为堆的操作。先来看二叉堆的定义。

二叉堆

    二叉堆其实是一棵有着特殊性质的完全二叉树，这里的特殊性质是指：

    1、二叉堆的父节点的值总是大于等于（或小于等于）其左右孩子的值；

    2、每个节点的左右子树都是一棵这样的二叉堆。

    如果一个二叉堆的父节点的值总是大于其左右孩子的值，那么该二叉堆为最大堆，反之为最小堆。我们在排序时，如果要排序后的顺序为从小到大，则需选择最大堆，反之，选择最小堆，这点通过后面对堆排序分析，你会有所体会。

堆排序

    由二叉堆的定义可知，堆顶元素（即二叉堆的根节点）一定为堆中的最大值或最小值，因此如果我们输出堆顶元素后，将剩余的元素再调整为二叉堆，继而再次输出堆顶元素，再将剩余的元素调整为二叉堆，反复执行该过程，这样便可输出一个有序序列，这个过程我们就叫做堆排序。
    由于我们的输入是一个无序序列，因此要实现堆排序，我们要先后解决如下两个问题：

    1、如何将一个无序序列建成一个二叉堆；

    2、在去掉堆顶元素后，如何将剩余的元素调整为一个二叉堆。

    针对第一个问题，可能很明显会想到用堆的插入操作，一个一个地插入元素，每次插入后调整元素的位置，使新的序列依然为二叉堆。这种操作一般是自底向上的调整操作，即先将待插入元素放在二叉堆后面，而后逐渐向上将其与父节点比较，进而调整位置。但正如前言中所说，我们完全用不着一个节点一个节点地插入，那我们要怎么做呢？我们需要先来解决第二个问题，解决了第二个问题，第一个问题问题也就迎刃而解了。

 
  调整二叉堆

    要分析第二个问题，我们先给出以下前提：

    1、我们排序的目标是从小到大，因此我们用最大堆；

    2、我们将二叉堆中的元素以层序遍历后的顺序保存在一维数组中，根节点在数组中的位置序号为0。

    这样，如果某个节点在数组中的位置序号为i，那么它的左右孩子的位置序号分别为2i+1和2i+2。

    为了使调整过程更易于理解，我们采用如下二叉堆来分析（注意下面的分析，我们并没有采用额外的数组来存储每次去掉的堆顶数据）： 

  

 
    

    这里数组A中元素的个数为8，很明显最大值为A0，为了实现排序后的元素按照从小到大的顺序排列，我们可以将二叉堆中的最后一个元素A7与A0互换，这样A7中保存的就是数组中的最大值，而此时该二叉树变为了如下情况：

   


    为了将其调整为二叉堆，我们需要寻找4应该插入的位置。为此，我们让4与它的孩子节点中最大的那个，也就是其左孩子7，进行比较，由于4<7,我们便把二者互换，这样二叉树便变成了如下的形式：



    接下来，继续让4与其左右孩子中的最大者，也就是6，进行比较，同样由于4<6，需要将二者互换，这样二叉树变成了如下的形式：



    这样便又构成了二叉堆，这时候A0为7，是所有元素中的最大元素。同样我们此时继续将二叉堆中的最后一个元素A6和A0互换，这样A6中保存的就是第二大的数值7，而A0就变为了3，形式如下：



    为了将其调整为二叉堆，一样将3与其孩子结点中的最大值比较，由于3<6，需要将二者互换，而后继续和其孩子节点比较，需要将3和4互换，最终再次调整好的二叉堆形式如下：



    一样将A0与此时堆中的最后一个元素A5互换，这样A5中保存的便是第三大的数值，再次调整剩余的节点，如此反复，直到最后堆中仅剩一个元素，这时整个数组便已经按照从小到大的顺序排列好了。

    据此，我们不难得出将剩余元素继续调整为二叉堆的操作实现代码如下（同前面两篇博文中一样，我们不需每次比较后都交换元素位置，代码中可以再次体会到这点）：

[cpp] view
plain copy

/* 

arr[start+1...end]满足最大堆的定义， 

将arr[start]加入到最大堆arr[start+1...end]中， 

调整arr[start]的位置，使arr[start...end]也成为最大堆 

注：由于数组从0开始计算序号，也就是二叉堆的根节点序号为0， 

因此序号为i的左右子节点的序号分别为2i+1和2i+2 

*/  

void HeapAdjustDown(int *arr,int start,int end)  

{  

    int temp = arr[start];  //保存当前节点  

    int i = 2*start+1;      //该节点的左孩子在数组中的位置序号  

    while(i<=end)  

    {  

        //找出左右孩子中最大的那个  

        if(i+1<=end && arr[i+1]>arr[i])    

            i++;  

        //如果符合堆的定义，则不用调整位置  

        if(arr[i]<=temp)   

            break;  

        //最大的子节点向上移动，替换掉其父节点  

        arr[start] = arr[i];  

        start = i;  

        i = 2*start+1;  

    }  

    arr[start] = temp;  

}  

    这样，将已经建好的二叉堆进行排序的代码如下：

[cpp] view
plain copy

//进行堆排序  

for(i=len-1;i>0;i--)  

{  

    //堆顶元素和最后一个元素交换位置，  

    //这样最后的一个位置保存的是最大的数，  

    //每次循环依次将次大的数值在放进其前面一个位置，  

    //这样得到的顺序就是从小到大  

    int temp = arr[i];  

    arr[i] = arr[0];  

    arr[0] = temp;  

    //将arr[0...i-1]重新调整为最大堆  

    HeapAdjustDown(arr,0,i-1);  

}  

    建立二叉堆

    搞懂了第二个问题，那么我们回过头来看如何将无序的数组建成一个二叉堆。

    我们同样以上面的数组为例，假设其数组内元素的原始顺序为：A[]={6,1,3,9,5,4,2,7}，那么在没有建成二叉堆前，个元素在该完全二叉树中的存放位置如下：



    这里的后面四个元素均为叶子节点，很明显，这四个叶子可以认为是一个堆（因为堆的定义中并没有对左右孩子间的关系有任何要求，所以可以将这几个叶子节点看做是一个堆），而后我们便考虑将第一个非叶子节点9插入到这个堆中，再次构成一个堆，接着再将3插入到新的堆中，再次构成新堆，如此继续，直到该二叉树的根节点6也插入到了该堆中，此时构成的堆便是由该数组建成的二叉堆。因此，我们这里同样可以利用到上面所写的HeapAdjustDown(int
*,int,int)函数，因此建堆的代码可写成如下的形式:

[cpp] view
plain copy

//把数组建成为最大堆  

//第一个非叶子节点的位置序号为(len-1)/2  

for(i=(len-1)/2;i>=0;i--)  

    HeapAdjustDown(arr,i,len-1);  

    如果还不是很明白，注意读下HeapAdjustDown(int *,int,int)函数代码中关于该函数作用的注释。

完整源码

    最后贴出完整源码：

[cpp] view
plain copy

/******************************* 

            堆排序 

Author:兰亭风雨 Date:2014-02-27 

Email:zyb_maodun@163.com 

********************************/  

#include<stdio.h>  

#include<stdlib.h>  

  

/* 

arr[start+1...end]满足最大堆的定义， 

将arr[start]加入到最大堆arr[start+1...end]中， 

调整arr[start]的位置，使arr[start...end]也成为最大堆 

注：由于数组从0开始计算序号，也就是二叉堆的根节点序号为0， 

因此序号为i的左右子节点的序号分别为2i+1和2i+2 

*/  

void HeapAdjustDown(int *arr,int start,int end)  

{  

    int temp = arr[start];  //保存当前节点  

    int i = 2*start+1;      //该节点的左孩子在数组中的位置序号  

    while(i<=end)  

    {  

        //找出左右孩子中最大的那个  

        if(i+1<=end && arr[i+1]>arr[i])    

            i++;  

        //如果符合堆的定义，则不用调整位置  

        if(arr[i]<=temp)   

            break;  

        //最大的子节点向上移动，替换掉其父节点  

        arr[start] = arr[i];  

        start = i;  

        i = 2*start+1;  

    }  

    arr[start] = temp;  

}  

  

/* 

堆排序后的顺序为从小到大 

因此需要建立最大堆 

*/  

void Heap_Sort(int *arr,int len)  

{  

    int i;  

    //把数组建成为最大堆  

    //第一个非叶子节点的位置序号为len/2-1  

    for(i=len/2-1;i>=0;i--)  

        HeapAdjustDown(arr,i,len-1);  

    //进行堆排序  

    for(i=len-1;i>0;i--)  

    {  

        //堆顶元素和最后一个元素交换位置，  

        //这样最后的一个位置保存的是最大的数，  

        //每次循环依次将次大的数值在放进其前面一个位置，  

        //这样得到的顺序就是从小到大  

        int temp = arr[i];  

        arr[i] = arr[0];  

        arr[0] = temp;  

        //将arr[0...i-1]重新调整为最大堆  

        HeapAdjustDown(arr,0,i-1);  

    }  

}  

  

int main()  

{  

    int num;  

    printf("请输入排序的元素的个数：");  

    scanf("%d",&num);  

  

    int i;  

    int *arr = (int *)malloc(num*sizeof(int));  

    printf("请依次输入这%d个元素（必须为整数）：",num);  

    for(i=0;i<num;i++)  

        scanf("%d",arr+i);  

  

    printf("堆排序后的顺序：");  

    Heap_Sort(arr,num);  

    for(i=0;i<num;i++)  

        printf("%d ",arr[i]);  

    printf("\n");  

  

    free(arr);  

    arr = 0;  

    return 0;  

}  

    测试结果如下：

总结

    最后我们简要分析下堆排序的时间复杂度。我们在每次重新调整堆时，都要将父节点与孩子节点比较，这样，每次重新调整堆的时间复杂度变为O（logn），而堆排序时有n-1次重新调整堆的操作，建堆时有（（len-1）/2+1）次重新调整堆的操作，因此堆排序的平均时间复杂度为O（n*logn）。由于我们这里没有借用辅助存储空间，因此空间复杂度为O（1）。

    堆排序在排序元素较少时有点大才小用，待排序列元素较多时，堆排序还是很有效的。另外，堆排序在最坏情况下，时间复杂度也为O（n*logn）。相对于快速排序（平均时间复杂度为O（n*logn），最坏情况下为O（n*n）），这是堆排序的最大优点。