1.线性判别分析概述

线性判别分析(LDA)是一种经典的线性学习方法，在二分类问题上最早由Fisher提出，亦称“Fisher判别分析”。LDA在模式识别领域中由非常广泛的应用。

LDA的思想非常朴素：给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类阳历的投影点尽可能接近，异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别，LDA的思想可以用一句话概括，就是“投影后类内方差最小，类间方差最大”。二维示意图如下。

2.瑞利商（Rayleigh quotient）与广义瑞利商（genralized Rayleigh quotient）

我们首先来看看瑞利商的定义。瑞利商是指这样的函数R(A,x):

其中x为非零向量，而A为n×n的Hermitan矩阵。所谓的Hermitan矩阵就是满足共轭转置矩阵和自己相等的矩阵，即AH=A。如果我们的矩阵A是实矩阵，则满足AT=A的矩阵即为Hermitan矩阵。

瑞利商R(A,x)有一个非常重要的性质，即它的最大值等于矩阵A最大的特征值，而最小值等于矩阵A的最小的特征值，也就是满足

具体的证明这里就不给出了。当向量x是标准正交基时，即满足xHx=1时，瑞利商退化为：R(A,x)=xH Ax，这个形式在谱聚类和PCA中都有出现。

以上就是瑞利商的内容，现在我们再看看广义瑞利商。广义瑞利商是指这样的函数R(A,B,x):

3.LDA vs PCA

LDA用于降维，和PCA有很多相同，也有很多不同的地方，因此值得好好的比较一下两者的降维异同点。

首先我们看看相同点：

1）两者均可以对数据进行降维。

2）两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想。

3）两者都假设数据符合高斯分布。

我们接着看看不同点：

1）LDA是有监督的降维方法，而PCA是无监督的降维方法

2）LDA降维最多降到类别数k-1的维数，而PCA没有这个限制。

3）LDA除了可以用于降维，还可以用于分类。

4）LDA选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。

这点可以从下图形象的看出，在某些数据分布下LDA比PCA降维较优。
　　　　
　　　　当然，某些某些数据分布下PCA比LDA降维较优，如下图所示：
　　　　

4.LDA算法小结

LDA算法既可以用来降维，又可以用来分类，但是目前来说，主要还是用于降维。在我们进行图像识别图像识别相关的数据分析时，LDA是一个有力的工具。下面总结下LDA算法的优缺点。

LDA算法的主要优点有：

1）在降维过程中可以使用类别的先验知识经验，而像PCA这样的无监督学习则无法使用类别先验知识。

2）LDA在样本分类信息依赖均值而不是方差的时候，比PCA之类的算法较优。

LDA算法的主要缺点有：

1）LDA不适合对非高斯分布样本进行降维，PCA也有这个问题。

2）LDA降维最多降到类别数k-1的维数，如果我们降维的维度大于k-1，则不能使用LDA。当然目前有一些LDA的进化版算法可以绕过这个问题。

3）LDA在样本分类信息依赖方差而不是均值的时候，降维效果不好。

4）LDA可能过度拟合数据。