单源最短路径 Dijkstra+优先队列

用优先队列优化的Dijkstra

1找到最短距离已经确认的顶点，从它出发更新相邻顶点的最短距离

2此后不需要关心1中的“最短距离已经确认的顶点”

堆中元素共有O(V)个，更新和取出都有O(E)次，每次更新或取出堆的维护时间是O(logV),因此该算法的时间复杂度为O(ElogV).

[code]/*
7 10
1 2 2
1 3 5
2 3 4
3 4 2
2 4 6
4 6 1
2 5 10
5 6 3
5 7 5
6 7 9

0 2 5 7 12 8 17
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAX_V=10005;
const int INF=0x3f3f3f;
struct edge{
int to;//边的终点
int cost;//权值
edge(int t,int c){
to=t;
cost=c;
}
};
typedef pair<int,int> P;//first是最短距离，second是顶点编号
int V;//顶点数
int E;//边数
vector<edge> G[MAX_V];
int d[MAX_V];

void read(){
int start,to,cost;
scanf("%d%d",&V,&E);
for(int i=0;i<E;i++){
scanf("%d%d%d",&start,&to,&cost);
G[start].push_back(edge(to,cost));
}
}
void dijkstra(int s){
//通过指定greater<P>参数，堆按照first从小到大的顺序取出值
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > que;//优先队列里存的都是最短距离已经确认的顶点
fill(d,d+V+1,INF);
d[s]=0;
que.push(P(0,s));//起点,起点到起点的最短距离是确定的（0）

while(!que.empty()){
P p=que.top();que.pop();//每次取出容器中已经确定的离起点最近的点
printf("取出点%d\n",p.second);
int v=p.second;
if(d[v]<p.first)continue;//表示该点入队不只一次(即之前有多个点都可以到达它),那么d[v]也可能更新了不只一次,
//而每次更新都会使d[v]更小,显然这个p.first是其中一次更新,但不是最小的那个,而最小的
//那个在此之前就出队了,所以不必再用这条记录继续往下更新了
for(int i=0;i<G[v].size();i++){//扫描其所有相邻的顶点,并更新他们的最短距离d[i]
edge e=G[v][i];
if(d[e.to]>d[v]+e.cost){
printf("d[%d]:%d>d[%d]:%d+%d_to_%d_cost:%d\t更新d[%d]为%d\t%d入队\n",e.to,d[e.to],v,d[v],v,e.to,e.cost,e.to,d[v]+e.cost,e.to);
d[e.to]=d[v]+e.cost;//d[v]是已经确定的
que.push(P(d[e.to],e.to));//更新后最短距离已经确认的点入队,优先队列里自动维护,队头是最小的那个
}
}
}
}
int main(){
read();
dijkstra(1);
for(int i=1;i<=V;i++)
printf("%d ",d[i]);
return 0;
}

下面为注释更详细的版本

[code]/*
7 10
1 2 2
1 3 5
2 3 4
3 4 2
2 4 6
4 6 1
2 5 10
5 6 3
5 7 5
6 7 9

0 2 5 7 12 8 17
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAX_V=10005;
const int INF=0x3f3f3f;
struct edge{
int to;//边的终点
int cost;//权值
edge(int t,int c){
to=t;
cost=c;
}
};
typedef pair<int,int> P;//first是该点入队时的最短距离，second是顶点编号
int V;//顶点数
int E;//边数
vector<edge> G[MAX_V];
int d[MAX_V];

void read(){
int start,to,cost;
scanf("%d%d",&V,&E);
for(int i=0;i<E;i++){
scanf("%d%d%d",&start,&to,&cost);
G[start].push_back(edge(to,cost));
}
}
void dijkstra(int s){
//通过指定greater<P>参数，堆按照first从小到大的顺序取出值
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > que;//优先队列里存的都是最短距离已经确认的顶点
/*
priority_queue 对于基本类型的使用方法相对简单。他的模板声明带有三个参数:
priority_queue<Type, Container, Functional>
其中Type 为数据类型， Container 为保存数据的容器，Functional 为元素比较方式。
Container 必须是用数组实现的容器，比如 vector, deque 但不能用 list.
STL里面默认用的是 vector. 比较方式默认用 operator< , 所以如果你把后面俩个参数缺省的话，
优先队列就是大顶堆，队头元素最大。
如果要用到小顶堆，则一般要把模板的三个参数都带进去。
STL里面定义了一个仿函数 greater<>，对于基本类型可以用这个仿函数声明小顶堆
p1 < p2;  两个pair对象间的小于运算，其定义遵循字典次序：如
p1.first < p2.first 或者 !(p2.first < p1.first) && (p1.second < p2.second) 则返回true。
pair详解 转https://blog.csdn.net/sevenjoin/article/details/81937695
*/
fill(d,d+V+1,INF);
d[s]=0;
que.push(P(0,s));//起点,起点到起点的最短距离是确定的（0）

while(!que.empty()){
P p=que.top();que.pop();//每次取出容器中已经确定的离起点最近的点
//printf("取出点%d\n",p.second);
int v=p.second;
if(d[v]<p.first)continue;//表示该点入队不只一次(即之前有多个点都可以到达它),那么d[v]也可能更新了不只一次,
//而每次更新都会使d[v]更小,显然这个p.first是其中一次更新,但不是最小的那个,而最小的
//那个在此之前就出队了,所以不必再用这条记录继续往下更新了

/*
这里是队的取出情况
取出点1
d[2]:4144959>d[1]:0+1_to_2_cost:2       更新d[2]为2     2入队
d[3]:4144959>d[1]:0+1_to_3_cost:5       更新d[3]为5     3入队
取出点2
d[4]:4144959>d[2]:2+2_to_4_cost:6       更新d[4]为8     4入队
d[5]:4144959>d[2]:2+2_to_5_cost:10      更新d[5]为12    5入队
取出点3
d[4]:8>d[3]:5+3_to_4_cost:2             更新d[4]为7     4入队
取出点4  这个是P(7,4)
d[6]:4144959>d[4]:7+4_to_6_cost:1       更新d[6]为8     6入队
取出点4  这个是P(8,4),而d[4]已经在第65行时被更新为7<p.first:8 所以continue
取出点6
d[7]:4144959>d[6]:8+6_to_7_cost:9       更新d[7]为17    7入队
取出点5
取出点7
*/
for(int i=0;i<G[v].size();i++){//扫描其所有相邻的顶点,并更新他们的最短距离d[i]
edge e=G[v][i];
if(d[e.to]>d[v]+e.cost){
//printf("d[%d]:%d>d[%d]:%d+%d_to_%d_cost:%d\t更新d[%d]为%d\t%d入队\n",e.to,d[e.to],v,d[v],v,e.to,e.cost,e.to,d[v]+e.cost,e.to);
d[e.to]=d[v]+e.cost;//d[v]是已经确定的
que.push(P(d[e.to],e.to));//更新后最短距离已经确认的点入队,优先队列里自动维护,队头是最小的那个
}
}
}
}
int main(){
read();
dijkstra(1);
for(int i=1;i<=V;i++)
printf("%d ",d[i]);
return 0;
}

参考资料：挑战程序设计竞赛P102