问题描述

现有价值为viv_ivi​、重量为wiw_iwi​的N个物品以及容量为W的背包。请根据下述条件选择物品装入背包：
所选物品的总价值尽可能高
所选物品的总重量不超过W。

输入：
第1行输入2个整数N、W，用空格隔开。接下来N行输入第 i 个物品的价值viv_ivi​与重量wiw_iwi​，每个物品占1行，相邻数组之间用空格隔开。
输出：
输出总价值的最大值，占1行。
限制：
1 ≤ N ≤ 100
1 ≤ viv_ivi​ ≤ 1000
1 ≤ wiw_iwi​ ≤ 1000
1 ≤ W ≤ 10000

输入示例

4 5
4 2
5 2
2 1
8 3

输出示例

13

讲解

这道题就是各个物品选与不选的组合，因此被称为0-1背包问题。如果检查N个物品所有选与不选的组合，复杂度为O(2N)O(2^N)O(2N)。

如果物品的大小w以及背包大小W均为整数，则0-1背包问题可以用动态规划法以O(NW)O(NW)O(NW)的效率求出严密解

先准备下列变量：
items[N+1]：一维数组，item[i].v、item[i].w分别记录第 i 个物品的价值和重量
C[N+1][W+1]：二维数组，C[i][w]表示前 i 个物品装入容量为w的背包时总价值的最大值

i 表示将前 i 个物品纳入考量范围，我们逐渐增加各个 i 对应的背包重量w，一步步更新C[i][w]。C[i][w]的值为下述二者中较大的一个：
1.C[i-1][w-物品 i 的重量] + 物品 i 的价值
2.C[i-1][w]

其中第1个表示当前选择物品 i 的情况，第2个表示当前不选择物品 i 的情况。另外，第1个的前提是物品 i 的重量不超过w。

只要将物品的选择情况记录在数组G[i][w]中，我们便可以还原最优解的物品组合了。例，当物品 i 被选择时，我们在G[i][w]中记录DIAGONAL， 20000 未被选择则记录TOP，这样一来我们就能寻找所选物品了

用动态规划法求解背包问题的算法如下，复杂度O(nm)O(nm)O(nm)。

用动态规划法求解0-1背包问题：

knapsack()
//初始化C和G

for i = 1 to N
for w = 1 to N
if items[i].w <= w
if items[i].v + C[i-1][w-items[i].w] > c[i-1][w]
C[i][w] = items[i].v + C[i-1][w-items[i].w]
G[i][w] = DIAGONAL //选择物品 i
esle
C[i][w] = C[i-1][w]
G[i][w] = TOP //不选择物品 i
else
C[i][w] = C[i-1][w]
G[i][w] = TOP //不能选择物品

AC代码如下

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define NMAX 105
#define WMAX 10005
#define DIAGONAL 1
#define TOP 0

using namespace std;

struct Item {
int value, weight;
};

int N, W;
Item items[NMAX+1];
int C[NMAX+1][WMAX+1], G[NMAX+1][WMAX+1];

void compute(int &maxValue, vector<int> &selection) {
for(int w = 0; w <= W; w++) {
C[0][w] = 0;
G[0][w] = DIAGONAL;
}

for(int i = 1; i <= N; i++) C[i][0] = 0;

for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int w = 1; w <= W; w++) {
C[i][w] = C[i-1][w];
G[i][w] = TOP;
if(items[i].weight > w) continue;
if(items[i].value + C[i-1][w-items[i].weight] > C[i-1][w] ) {
C[i][w] = items[i].value + C[i-1][w-items[i].weight];
G[i][w] = DIAGONAL;
}
}
}

maxValue = C[N][W];
selection.clear();
for(int i = N, w = W; i >= 1; i--) {
if(G[i][w] == DIAGONAL) {
selection.push_back(i);
w -= items[i].weight;
}
}

reverse(selection.begin(), selection.end());
}

void input() {
cin>>N>>W;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
cin>>items[i].value>>items[i].weight;
}
}

int main(){
int maxValue;
vector<int> selection;
input();
compute(maxValue, selection);

cout<<maxValue<<endl;

return 0;
}