各排序算法的时间复杂度分析及稳定性分析

何为稳定性

稳定的排序算法会使原本具有相等键值的记录维持相对次序。即一个排序算法如果是稳定的，那么当有两个相等键值的记录A和B，且在原本的列表中A出现在B前，那么排序后的A也是出现在B之前。

稳定性示例

如对一串键值进行排序，以Key为排序次序：
      (6,c)，(4,r)，(4,f)，(1,h)，(8,x)
此时，可以有两种排序的结果：
      (1,h)，(4,r)，(4,f)，(6,c)，(8,x) --维持了原来的次序
      (1,h)，(4,f)，(4,r)，(6,c)，(8,x) --更改了原来的次序
则第一种排序方法是稳定的，第二种则是不稳定的。

各排序算法的稳定性

何为时间复杂度

时间复杂度是一个函数，用来描述该算法的运行时间。
表示的是同一个问题用不同算法解决的时间开销–即效率。
时间复杂度越低，该算法的性能越好；防止则性能越差，效率越低。

各排序算法的时间复杂度分析

 插入排序

  最差情况即为每条记录都必须移动到数组的顶端–逆序的。这时比较次数为：第一次执行for为1，第二次为2，类推。则总比较次数为

  最佳情况就是关键码按照从小到大的顺序排序，仅仅一个for循环就可退出，总比较次数是 n-1 次，即外层for的循环次数。则此时的时间代价是   平均情况下，分析有点类似最差情况，显然两个for都是需要循环的。经测定，平均情况下的时间代价约是最差情况的一半，大概是n^2÷4。仍然是

 冒泡排序

  分析冒泡排序很简单，无需考虑分布情况，内层for的循环比较次数总会是 i ，因此时间代价为

  于是冒泡排序的最佳、平均、最差情况运行时间几乎是相同的，时间代价都为

 选择排序

  对于选择排序，每次都是从未排序的序列选最小的关键值码，接着是次关键值码，依次类推。因此比较次数还是

  故选择排序的最佳、平均、最差情况的时间代价都为

 shell排序

  希尔排序与交换排序思想的不同之处在于，希尔排序是在不相邻的记录之间进行比较交换。利用了插入排序的最佳时间代价特性。最差的情况下希尔排序也比O(n^2)要好。
  平均情况下，可不加证明的承认(我不行😭)Shell排序的时间代价为

 归并排序

  归并排序基于分而治之的思想，是递归的。归并排序的时间代价并不依赖于待排序数据的相对顺序。不妨设i为两个要归并子数组的总长度，归并过程需要花费O(i)时间。而待排序的数组一直不断的被分成两半，直到子数组长度为1；然后再逐个合并。因此，对于待排序的数组长度为n时，递归的深度是log n。第一层递归可看成对长度为n的数组的排序，第二层递归是对长度为n/2的数组的排序，……，最后一层是对长度为1的子数组的排序。显然，对于n个长度为1的子数组归并需要O(n)，对n/2个长度为2的子数组归并需要O(n)，……因此，总时间代价为

  故归并排序的最佳、平均、最差情况的时间代价都为

 快速排序

  最差情况轴值没有很好的划分数组，即一个子数组中没有结点，二另一个有n-1个节点。那么总时间代价为

  最佳情况就是每个轴值都将数组划分成相等长度的两部分。最佳情况下，要划分log n次。每次划分的时间开销为O(n),则此时的时间代价是   平均情况下，是介于最佳与最差之间，经过推算算出来的平均时间代价也是（感兴趣的同学自己算算）

 堆排序

  堆排序的整棵树都是平衡的。在平均情况下比快速排序要慢一个常数因子，但堆排序更适合于外排序，用于处理那些数据集太大而不适合在内存中排序的情况。
  建立堆需要花费O(n)的时间，并且在n次取堆的过程中，每次需要花费O(log n)的时间，并且与数据排列无关。
  因此堆排序的最佳、平均、最差情况的时间代价都为

 分配排序

  分配排序很出色，但只能用于满的数组(0~n-1)排序！
  无论初始数组的关键码顺序如何，都只需要O(n)的时间代价。
  因此堆排序的最佳、平均、最差情况的时间代价都为

 基数排序

  基数排序通过将数据分发到数组中并将之连接起来。其中将元素放到数组中花费的时间代价是O(n),而对于k个键值下，则需要O(kn)的时间复杂度。
  无论初始数组的关键码顺序如何，都只需要O(kn)的时间代价。
  因此基数排序的最佳、平均、最差情况的时间代价都为