动态规划问题一：背包问题

学习自：Christal_R

有一个背包，能盛放的物品总重量为capacity，设有number件物品，其重量分别为w1，w2，…，wn，希看从N件物品中选择若干物品，所选物品的重量之和恰能放进该背包，即所选物品的重量之和即是S。

寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝，其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

1. j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
2. j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

void FindMax()//动态规划
{
int i,j;
//填表
for(i=1;i<=number;i++)
{
for(j=1;j<=capacity;j++)
{
if(j<w[i])//包装不进
{
V[i][j]=V[i-1][j];
}
else//能装
{
if(V[i-1][j]>V[i-1][j-w[i]]+v[i])//不装价值大
{
V[i][j]=V[i-1][j];
}
else//前i-1个物品的最优解与第i个物品的价值之和更大
{
V[i][j]=V[i-1][j-w[i]]+v[i];
}
}
}
}
}

表格填完，最优解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10，但还不知道解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：

1. V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
2. V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)实时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
3. 一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。

void FindWhat(int i,int j)//寻找解的组成方式
{
if(i>=0)
{
if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等说明没装
{
item[i]=0;//全局变量，标记未被选中
FindWhat(i-1,j);
}
else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
{
item[i]=1;//标记已被选中
FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到装包之前的位置
}
}
}