红黑树的由来，特性，原理以及适用场景分析

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注意：本文不涉及红黑树的具体实现，并且默认读者已经对二叉树，二叉查找树，AVL 树等已经了解并熟悉。

一、平衡二叉查找树

定义：树中任意一个节点的左右子树高度差不大于 1。

AVL树

是一种严格按照定义来实现的平衡二叉查找树，所以，它的查找效率非常稳定，是

O(log n)

，由于严格按照左右子树高度差不大于一的规则，插入和删除操作中需要大量的操作来保持树的平衡，比较耗时。

因此，

AVL树

适用于大量查询，少量插入和删除的场景中。

思考一下，当插入一个数据或者删除一个数据时，什么样的操作能够将不平衡的二叉查找树继续保持平衡？

答案是左旋和右旋。


从图中可以观察到，右旋操作是将左子树高度减一，右子树高度加一（左旋反之），并且观察

α、β、γ

可以发现，旋转后依旧符合二叉查找树的特性。

二、红黑树

上一小节介绍了

AVL树

的优缺点以及平衡二叉树保持平衡的基本操作。

在分析

AVL树

后，发现其插入和删除操作复杂且效率不高，不适合应用于需要大量插入、删除和查找的场景。

思考：AVL 树是因为需要严格按照左右子树高度差不大于 1，导致插入删除时需要复杂的操作来维持树的绝对平衡，所以，是否可以通过降低对平衡性的要求，来提高插入删除的效率呢？

答案当然是可以的，红黑树正是这样产生的。

先来看一下一棵合格的红黑树需要满足什么样的要求：
1. 树中的节点有两种标记，红色节点和黑色节点；
2. 根节点为黑色；
3. 每个叶子节点都是空的黑色节点；
4. 两个红色节点不能相邻；
5. 每个节点，从它开始往叶子节点走的所有路径，每条路径都包含相同数量的黑色节点；

如图是合格的一棵红黑树，图中我省略了所有的黑色的叶子节点，可以自行验证是如何符合上述五个条件的：（例如：第五点，从根节点出发，到叶子节点，每条路径的黑色节点都是 4 个，包括空的叶子节点）

乍一看要求很多，而且像第三、第四点可能根本就不知道它为什么要这样设计，现在我们就来分析一下，为什么是这五个条件，他们分别起什么作用。

先说简单的，第一点，红黑树，顾名思义，节点有红有黑，不难理解，至于为什么要将节点区分红色和黑色，请继续往下看。

第二点和第三点，根节点为黑色，叶子节点为空，并且也是黑色，这样设计是为了方便红黑树代码实现，不懂的可以自行百度：通过哨兵简化代码的编写

最后，第四第五点是体现红黑树核心思想的两点，也是最不容易理解的两点。我们将通过推导红黑树的高度来理解这两点的作用。

三、红黑树的高度

二叉查找树的查找效率与树的高度直接相关。那么红黑树到底降低了多少对平衡的要求，并且查找效率究竟与 AVL 树相差多少呢。

我们可以先思考一下，既然红黑树并不严格符合左右子树高度差不大于 1 的规则，那么它的高度究竟是多少呢？我们可以通过推导来粗略的估算一下。

首先，我们将一棵红黑树的红色节点剔除，失去了父节点的黑色节点接到祖父节点上，如图：

我们可以发现，剔除红色节点后，剩余的黑色节点组成了一棵

四叉树

（二叉树每个节点最多两个子节点，因此，在剔除红色节点后，祖父节点最多挂四个子节点）

回忆一下红黑树的第五点要求：每个节点，从它开始往叶子节点走的所有路径，每条路径都包含相同数量的黑色节点，可以发现，因为这个要求的约束，黑色节点在树的垂直方向上是趋向于均匀分布的，因此上图形成的四叉树高度肯定比相同节点数的完全二叉树高度小。完全二叉树的高度是 log n 。

这个时候，我们再将红色节点添加到这棵四叉树中，再来回忆一下第四点要求：两个红色节点不能相邻，因此红色节点肯定是在两个黑色节点中间的，只要插入一个红色节点，那么对应的上下两个黑色节点从

2

层增加到

3

层，因此考虑将最大红色节点数插入这棵四叉树中时，最终这棵四叉树的高度变成了原来的 2 倍。

最终，我们推导出红黑树的高度范围是

log n

到

2log n

内，由此可见，红黑树的查询时间复杂度依旧是

O(log n)

。

通过推导过程，我们可以发现，红黑树的红色、黑色节点，以及红黑节点遵守的规则，实际上是用来保证红黑树的高度不超过

2log n

，也就是用于避免左右子树高度差太大导致查询效率过低。

事实上红黑树的效率比我们推导的只会更高。

实际实现一棵红黑树，在插入删除元素后，维持红黑树的操作除了开始讲的左旋和右旋，还加入了节点颜色的转换，通过两者的结合，每次修复打破平衡的红黑树，只需要不超过 3 次旋转操作。

四、红黑树的适用场景

总结一下红黑树的特性：

1. 红黑树是一颗近似平衡的二叉查找树
2. 支持高效的查找、插入和删除元素
3. 查找删除和插入的效率稳定

综合比较而言，红黑树更适合应对实际开发中的复杂场景。

由于红黑树的代码实现比较复杂，如果实际开发中需要手动实现红黑树，我们更推荐采用跳表。

最后，本文是基于极客时间专栏《数据结构和算法之美》，欢迎入坑学习。