水面渲染-波动方程

很多游戏描述的世界都会含有流体表面，他们可能是个水池，可能是桶强酸，或者一个熔岩坑。为使这些对象的表面如同物理世界一样，需要模拟波在液体表面的扰动传播方式。

波动方程

波动方程是一个偏微分方程，表示为在恒定张力下的一维线或二维面上每一个点的运动方式

一维线波动方程为：\[\frac{dy^2}{dt^2} =c^2 * \frac{dy^2}{dx^2}\] c为波速，x,y是二维笛卡尔坐标系的2个维

二维面波动方程为 \[\frac{dz^2}{dt^2} =c^2 *(\frac{dz^2}{dx^2}+ \frac{dz^2}{dy^2})\] z为x,y轴构成平面的第三维

由于波速会因为粘性阻尼力衰减，所以水面的波动方程如下

\[\frac{dz^2}{dt^2} =c^2 *(\frac{dz^2}{dx^2}+ \frac{dz^2}{dy^2}) - u \frac{dz}{dt}\] u为液体粘稠度，用以控制波在液体表面的存在时间

近似导数

实时仿真波动方程需要大量的计算，所以使用近似导数简化方程

近似导数如下

\[\frac{dz(x,y,t)}{dx} =\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)}{2dx}\]

所以可得

\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dx^2} =\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)-2z(x,y,t)}{2dx^2}\]

同理

\[\frac{dz(x,y,t)}{dt} =\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)}{2dt}\]

\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dt^2} =\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)-2z(x,y,t)}{2dt^2}\]

\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dt^2} =\frac{z(x,y+dy,t) - z(x,y-dy,t)-2z(x,y,t)}{2dy^2}\]

计算液体表面平移

由之前的近似表达式易得

\[\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)-2z(x,y,t)}{2dt^2} = c^2*\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)-2z(x,y,t)}{2dx^2} + c^2* \frac{z(x,y+dy,t) - z(x,y-dy,t)-2z(x,y,t)}{2dy^2} - u\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)}{2dt}\]

使dx =dy = d易得最终方程如下

\[z(x,y,t+dt) = \frac{4 - 8*c^2t^2/d^2}{ut+2} +\frac{ut-2}{ut+2}*z(x,y,t-dt)+\frac{2c^2t^2/d^2}{ut+2}*(z(x+dx,y,t)+z(x-dx,y,t)+z(x,y+dy,t)+z(x,y-dy,t))\]

稳定条件

如果波速c太快，或者dt时间段太长，使位移发散为无穷大，需要约束c或t，约束如下

\[0<c<\frac{d}{2t}\sqrt{ut+2}\]

\[0<t<\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}\]（\[\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}>0\]）或\[0<t<\frac{u+sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}\]（\[\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}<0\]）

参考资源

Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, Third Edition