UVALive-8079 Making a Team 排列组合公式化简

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题意

n个人组队，队伍人数小于等于n，每个队伍需要4个不同的职务的领导。
问这n个人可以组成多少队？
n<=1e7

思路

很明显，对一个i人队伍，可以组成$ \sum\binom{i}{1}^4\binom{n}{i} = \sum i^4\binom{n}{i} $种可能。
现在分析一下复杂度，对一个n来讲我们可以求逆元来求组合数，所以O(n)复杂度。
那么现在又有1000行的数据，总的复杂度远远超过了10s的时间。
又要优化了，这次看了半天没有优化思路，赛后有人讲把整个式子拆开即可，反正我是拆不开。
这次用用某同学的方法优化。
\[ \begin{align*} 1+\sum_1^n \binom{n}{i}x^i&=(1+x)^n \\ (1+\sum_1^n \binom{n}{i}x^i)'&=((1+x)^n)' \\ \sum_1^n i\binom{n}{i}x^{i-1}&=n(1+x)^{n-1} \\ \sum_1^n i\binom{n}{i}x^i&=n(1+x)^{n-1}x \\ \sum_1^n i^2\binom{n}{i}x^i&=n(n-1)(1+x)^{n-2}x^2+n(1+x)^{n-1}x \\ \sum_1^n i^3\binom{n}{i}x^i&=n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}x^3+2n(n-1)(1+x)^{n-2}x^2+ n(n-1)(1+x)^{n-2}x^2+n(1+x)^{n-1}x \\ \sum_1^n i^4\binom{n}{i}&=2^{n-4}(n^4+20n^3-55n^2+42n) \end{align*} \]
这个思路可以应对$ \sum f(i) \binom{n}{i} $形式的化简，其中f(i)是i的多项乘积。

提交过程

AC

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=1e7+20;
const int mod=1e8+7;
int pow2[maxn];
void init(void){
pow2[0]=1;
for (int i=1; i<maxn; i++)
pow2[i]=(pow2[i-1]*2)%mod;
// printf("done\n");
}

long long pow(long long x, int num){
long long res=1;
for (int i=0; i<num; i++)
res=(res*x)%mod;
return res;
}

long long func(int n){
if (n==1) return 1;
if (n==2) return 18;
if (n==3) return 132;
return ((pow2[n-4]*(pow(n, 4) + 6*pow(n, 3) + 3*pow(n, 2) - 2*n )%mod)%mod+mod)%mod;
}

int main(void){
long long n;

init();
while (scanf("%lld", &n)==1 && n)
printf("%lld\n", func(n));

return 0;
}