矩阵快速幂/矩阵加速线性数列 By cellur925

讲快速幂的时候就提到矩阵快速幂了啊，知道是个好东西，但是因为当时太蒟（现在依然）没听懂。现在把它补上。

一、矩阵快速幂

首先我们来说说矩阵。在计算机中，矩阵通常都是用二维数组来存的。矩阵加减法比较简单易懂，两个矩阵相加减就是两个行列数均相等的矩阵的对应位置的数相加减。

矩阵乘法就有些复杂了。它有一些特殊的要求，要求参与矩阵乘法运算的第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。所得的矩阵列数为第一个矩阵的列数，行数为第二个矩阵的行数。

举个栗子。

1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #include<cstring>
4
5 using namespace std;
6 typedef long long ll;
7 const ll moder=1e9+7;
8
9 int T;
10 ll n;
11 struct matrix{
12     ll m[10][10];
13 }ans,sta;
14
15 void init()
16 {
17     memset(ans.m,0,sizeof(ans.m));
18     for(int i=1;i<=3;i++) ans.m[i][i]=1;
19     memset(sta.m,0,sizeof(sta.m));
20     sta.m[1][1]=sta.m[1][3]=sta.m[2][1]=sta.m[3][2]=1;
21 }
22
23 matrix mul(matrix a,matrix b)
24 {
25     matrix tmp;
26     memset(tmp.m,0,sizeof(tmp.m));
27     for(int i=1;i<=3;i++)
28         for(int j=1;j<=3;j++)
29             for(int k=1;k<=3;k++)
30                 (tmp.m[i][j]+=(a.m[i][k]%moder)*(b.m[k][j]%moder))%=moder;
31     return tmp;
32 }
33
34 void ksm(ll p)
35 {
36     while(p)
37     {
38         if(p&1) ans=mul(ans,sta);
39         p>>=1;
40         sta=mul(sta,sta);
41     }
42 }
43
44 int main()
45 {
46     scanf("%d",&T);
47     while(T--)
48     {
49         scanf("%lld",&n);
50         if(n<=3){printf("1\n");continue;}
51         init();
52         ksm(n);
53         printf("%lld\n",ans.m[2][1]);
54     }
55     return 0;
56 }

未完待续