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统计基础之区间估计

2018-08-23 00:19 176 查看

最近在学《商务与经济统计》基础知识，为进一步把所学的知识点理顺，通过写文章的形式进行总结，一方面加深对知识点的理解，另一方面提高自己的文字表述能力。

一、总体总体常见的几种分布

1、 $\chi ^{2}$ 分布：又称卡方分布，是标准正态的平方和。

2、t分布：是标准正态除以卡方比上其自由度的平方根。

3、F分布：两个卡方比上各自自由度的比。

4、Z分布：标准正态分布。

二、总体均值区间估计：

总体分布	样本量	$\delta$ 已知	$\delta$ 未知
正态分布	大样本（n>=30）	$\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})$	$\bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})$
小样本（n<30）	$\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})$	$\bar{x}\pm{t_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})$
非正态分布	大样本(n>=30)	$\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})$	$\bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})$

理解上表：

1、当总体分布是正态分布时：a、总体方差 $\delta$ 2已知，如果是大样本，经过标准化后Z= $\frac{\bar{x}-u}{\frac{\delta }{\sqrt{n}}}$ ,置信区间为： $\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})$ ，如果是小样本，置信区间为 $\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})$ ，b、总体方差 $\delta$ 2未知，如果是大样本，则用样本方差s2代替，置信区间为 $\bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})$ ，吐过是小样本，用样本方差S2代替，样本均值经过标准化后的随机变量服从自由度为（n-1）的t分布，置信区间为 $\bar{x}\pm{t_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})$ 。

2、当总体分布是非正态分布时（必须是大样本，n>=30）：a、总体方差已知，经过标准化后服从正态分布，置信区间为 $\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})$ ；b、总体方差未知，置信区间为 $\bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})$ 。（包含一个中心极限定理：当抽样的随机样本的总体不服从正态分布时，从总体中抽取容量为n的简单随机样本，当样本容量很大时，样本均值 $\bar{x}$ 的抽样分布服从近似正态概率分布。）

2、总体比例的区间估计（大样本情况下:满足：np>=5,n(1-p)>=5）

期望：E(p）=p，方差： $\delta _{p}^{2}=\frac{p(1-p)}{n}$ ,置信区间为：p $\pm$ $\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sqrt{\frac{p(1-p))}{n}}})$

3、总体方差区间估计（ $\chi ^{2}$ 分布）（满足正态总体方差估计）：样本方差服从自由度为n-1的 $\chi ^{2}$ 分布

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