[Leetcode]找到出现不同次数的数字（通用解法）

今天在leetcode上遇到了 137. Single Number II 这道题：

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。(Given a non-empty array of integers, every element appears three times except for one, which appears exactly once. Find that single one.)

Note: 你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？(our algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory?)

Examples:
Input: [0,1,0,1,0,1,99]
Output: 99

刚开始看到这道题时候，我是略微欣喜的，因为脑子里蹦出的想法应该就是用位异或的方法解决。然而事情并没有那么简单。在草稿纸上模糊了快一个小时候，我点开了Discuss，进入了投票数最高的回答：

这一点开不得了，我的表情是这样的😳(睁大双眼的脸)，里面只有这寥寥几行代码：

public int singleNumber(int[] A) {
int ones = 0, twos = 0;
for(int i = 0; i < A.length; i++){
ones = (ones ^ A[i]) & ~twos;
twos = (twos ^ A[i]) & ~ones;
}
return ones;
}

上面的代码，如果你看两眼就明白。你可以大大的鄙视我了，这篇文章可能不适合你，但是我们还是交个朋友吧🤝

开玩笑，言归正传。这时我点开了另一个回答An General Way to Handle All this sort of questions.，简直如沐春风。该方法采用了数字逻辑电路里的计算，来解决诸如此类的问题。哈哈，好歹我本科也是学过数电这门课的。这篇回答短小精悍，我也理解了半天，下面主要介绍我的理解:

(正经脸)

这个方法核心思想是建立一个记录状态的变量，此方法适用于其他所有元素出现K次，求唯一一个元素出现M次的问题（every one occurs K times except one occurs M times）。对于leetcode137这个问题，K=3，M=1。

我们先讨论K=2的情况，我们可以用所有元素做位异或的方法来得到只出现一次的数，那是因为出现两次的数都通过异或把他们的所有位都置0了。对于K=2，每个数的每一位，只有两种情况（1或0），我们可以列出这几种情况：

current	incoming	next
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

上面的真值表对于每个数的每一位来说，由于异或具有交换律，所以我们可以看成两两相同的数的每一位做异或，自然都变成0。剩下一个数的每一位只能跟前面异或完的0做异或，得到的就是他本身。

现在讨论K=3的情况。如果能有一种“类异或”的运算，使得3个相同的数做了这种位运算后变成0就好了，这不就跟上面的情况一样了嘛！哈哈，请叫我们数学家。

我们要找的就是这种“类异或”的位运算。由于K=3，要进行3次位运算后这一位才为0，那么我们是不是可以把一个数的每一位看成有三个状态呢？嗯，可以试试。

其实用三进制应该是可以解决的，但是对于代码来说实在是不好理解。那么我们只能人为的用二进制定义每一位的这三种状态了。根据香农第一定理，3种状态需要两位二进制位表示（哈哈😃，原谅我故作玄虚）。我们用

（00，01，10）

来分别表示每个数每一位的这三种状态，且定义如下真值表：（该真值表的运算表示为₸）

current(a, b)	incoming(c)	next(a, b)
0, 0	0	0, 0
0, 1	0	0, 1
1, 0	0	1, 0
0, 0	1	0, 1
0, 1	1	1, 0
1, 0	1	0, 0

来理解一下上面这个真值表，每一位用虚拟的两位二进制（a, b）表示。假设我们把每一位的初始状态都定为（a', b'），如果接下来进行₸运算的incoming是三个一样的数，那么第三次₸运算后的结果必定还是(a', b')。

下面就要用到《数字逻辑电路》的知识了：根据真值表写出逻辑式。

(其实不难：对于a，把next中a=1对应的行组合选出来，对于每一个组合，凡取值为1的变量写成原变量，取值为0的变量写成反变量，各变量相乘后得到一个乘积项；最后，把各个组合对应的乘积项相加，就得到了相应的逻辑表达式。对于b同理)

所以:

\(a = a\overline{b}\overline{c} + \overline{a}bc\)
\(b = \overline{a}b\overline{c} + \overline{a}\overline{b}c\)

根据这两个逻辑式写出相应的python代码：

a = (a&~b&~c)|(~a&b&c)
b = (~a&b&~c)|(~a&~b&c)

ps:这三种状态我们定义

00

表示真实位

0

,

01

和

10

表示真实位

1

，所以有如下映射关系:

01 10 => 1
00 => 0

所以，对于最后的结果，我们只需要return

a|b

即可得到该位是0还是1.

最后的python代码：

class Solution:
def singleNumber(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
a = 0
b = 0
for c in nums:
a, b = (a&~b&~c)|(~a&b&c), (~a&b&~c)|(~a&~b&c)
return a|b

但是，上述代码放在leetcode中，只beats掉了30%的人。几个原因吧：

1. 逻辑式可以化简。
2. 确实还有对于这道题更简单但是不通用的方法

不过，现在你已经可以解决所有类似的题目了，惊喜吧！🇨🇳