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分数阶 Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 （陶然 邓兵 王越 ）

• 分数阶 Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 （陶然 邓兵 王越 ） 发展历史
• 特性 离散算法

在信号处理领域的应用

信号检测与参数估计
• 相位恢复及信号重构
• 滤波
• 神经网络
• 图像处理

分数阶 Fourier 变换的 6 大优势

分数阶 Fourier 变换是对经典 Fourier 变换的推广. 最早由 Namias 以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。分数阶 Fourier 变换直观上可看作是 chirp 基分解, 而实质上分数阶 Fourier 变换更具有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从 0 连续增长到 1 而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征。
傅里叶变换缺陷：
- 是一种全局变换，得到的是信号的整体频谱，无法表达信号的时频局部特性，无法更好的解决非平稳信号
解决措施
- 提出一系列新的信号分析理论：分数阶 Fourier 变换、短时Fourier 变换、Wigner 分布、Gabor 变换、小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析

发展历史

• 1980 年， Namias 从特征值和特征函数的角度, 以纯数学的方式提出了分数阶
  Fourier 变换(fractional Fourier transform, FRFT)的概念 。
• 1993 年 Mendlovic和 Ozaktas 给出了分数阶 Fourier 变换的光学实现, 并将之应用于光学信息处理 。
• 1993 年 Almeida 指出分数阶 Fourier 变换可以理解为时频平面的旋转
• 1996 年 Ozaktas 等提出了一种计算量与 FFT 相当的离散算法后,分数阶 Fourier 变换才引起大量信号处理领域的研究者的注意。

特性

这篇文献总结近年来分数阶 Fourier 变换在信号处理领域的研究成果，从基础、应用基础、应用三个层面对分数阶 Fourier 变换的理论体系进行阐述。

分数阶 Fourier 变换提供了信号从时域到频域全过程的综合描述 , 随着阶数从 0 连续增长到 1，分数阶 Fourier 变换展示出信号从时域逐步变化到频域的所有变化特征。

离散算法

三种离散算法总结：

特性	特征分解	离散采样	线性组合
旋转相加性	√	Χ	√
可逆性	√	√	√
计算精度	√	√	Χ
计算量	M 2/2	M log 2 M+2 M	(M/2)log 2 M
闭式形式	Χ	√	√

在信号处理领域的应用

信号检测与参数估计

分数阶 Fourier 变换可以理解为 chirp 基分解 , 因此分数阶 Fourier 变换特别适合于处理 chirp 类信号。利用线性调频 (LFM) 信号在不同阶数的分数阶Fourier 域呈现出不同的能量聚集性的特性 , 通过在分数阶 Fourier 域作峰值二维搜索就可以实现对 LFM 信号的检测和参数估计 。

相位恢复及信号重构

如果已知某信号两次不同阶数的分数阶 Fourier 变换模，那么就可以重构出该信号 , 而只会相差一个常数相位项 ( 原因在于只相差一个常数相位项的两个函数的同一阶数分数阶 Fourier 变换将具有相同的模 )。

滤波

乘性滤波具有较好效果的前提条件是信号与噪声变换到某阶分数阶 Fourier 域后能够完全或大部分分离开 . 如果一次变换不能达到目的 ,那么可以考虑级联多次不同阶数分数阶 Fourier 域乘性滤波来实现。

神经网络

将分数阶傅里叶变换的结果作为神经网络的输入。在最优变换阶数 p 的选取上 , 将 p 在一定范围内 ( 0 ≤ p ≤ 1 ) 按某个步长进行步进尝试 , 以选取效果最好的p 值。

图像处理

分数阶 Fourier 变换在图像处理中的应用主要包括数字水印及加密 . 通过把
待处理图像变换到某阶分数阶 Fourier 域 , 然后将水印数据按照一定的规则嵌入
选定的变换系数上。

分数阶 Fourier 变换的 6 大优势

• 分数阶 Fourier 变换是一种统一的时频变换 , 随着阶数从 0 连续增长到 1,分数阶 Fourier 变换展示出信号从时域逐步变化到频域的所有变化特征 , 可以为信号的时频分析提供更大的选择余地 ; 最直接的利用方式就是将传统时、频域的应用推广到分数阶 Fourier 域以获得某些性能上的改善 , 如分数阶 Fourier 域的滤波。
• 分数阶 Fourier 变换可以理解为 chirp 基分解 , 因此 , 它十分适合处理 chirp
  类信号 , 而 chirp 类信号在雷达、通信、声纳以及自然界中经常遇到 , 这些应用前
  面都已经提到过
• 分数阶 Fourier 变换是对时频平面的旋转 , 利用这一点可以建立起分数阶Fourier 变换与时频分析工具的关系 , 既可以用来估计瞬时频率、恢复相位信息,又可以用来设计新的时频分析工具 , 如 TTFT 以 Gauss 函数的分数阶 Fourier 变换为基函数的信号扩展方法等。
• 相较 Fourier 变换 , 分数阶 Fourier 变换多一个自由参数 , 因此在某些应用场合能够得到更好的效果。
• 分数阶 Fourier 变换是线性变换 , 没有交叉项干扰 , 在具有加性噪声的多分量情况下更具优势。
• 分数阶 Fourier 变换是线性变换 , 没有交叉项干扰 , 在具有加性噪声的多分量情况下更具优势。
• 具有比较成熟的快速离散算法 , 这既保证了分数阶 Fourier 变换能够进入
  数字信号处理的工程实用阶段 , 而且基于它可以为其他的分数阶算子或变换提
  供快速离散算法 , 如分数阶卷积、相关及分数阶 Hartley 变换等

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