BZOJ4176 Lucas的数论 【莫比乌斯反演 + 杜教筛】
题目
去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。
在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数。他现在长大了,题目也变难了。
求如下表达式的值:
其中 表示ij的约数个数。
他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值。
输入格式
第一行一个整数n。
输出格式
一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值。
输入样例
2
输出样例
8
提示
对于100%的数据n <= 10^9。
题解
这题推导和SDOI2015约数个数和那道题是一样的
只不过计算的方式有差别
这道题没有多组询问,而且n特别大【不能O(n)实现】,要用杜教筛
最后推出式子:
\[ans=\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) (\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}{i} \rfloor)^2\]
如果我们记
\[sum(n) = \sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\]
那么式子可以写成:
\[ans=\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) sum(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)^2\]
显然可以分块计算
因为\(n<=10^9\),所以对于\(\mu\)的前缀和我们采用杜教筛,时间复杂度\(O(n^{\frac{2}{3}}logn)\)
对于\(sum(n)\),我们内部也分块计算,时间复杂度\(O(\int_{0}^{\sqrt{n}} x^{\frac{1}{2}} dx) = O(\frac{2}{3} n^{\frac{3}{4}}) = O(n^{\frac{3}{4}})\)
所以总的复杂度\(O(n^{\frac{2}{3}}logn + n^{\frac{3}{4}})\)
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> #include<cstring> #include<algorithm> #define LL long long int #define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt) #define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) #define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts(""); using namespace std; const int maxn = 1000005,maxm = 100005,INF = 1000000000,P = 1000000007; typedef map<LL,LL> Map; Map _mu; Map::iterator it; LL p[maxn],pi,mu[maxn],N,n; int isn[maxn]; void init(LL n){ N = (LL)pow(n,2.0 / 3.0); mu[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++){ if (!isn[i]) p[++pi] = i,mu[i] = -1; for (int j = 1; j <= pi && i * p[j] < N; j++){ isn[i * p[j]] = true; if (i % p[j] == 0){ mu[i * p[j]] = 0; break; } mu[i * p[j]] = -mu[i]; } } for (int i = 1; i < N; i++) mu[i] = (mu[i - 1] + mu[i]) % P; } LL sum(LL x){ LL ans = 0; for (int i = 1,nxt; i <= x; i = nxt + 1){ nxt = x / (x / i); ans = (ans + (nxt - i + 1) * (x / i) % P) % P; } return ans; } LL S(LL n){ if (n < N) return mu ; if ((it = _mu.find(n)) != _mu.end()) return it->second; LL ans = 1; for (int i = 2,nxt; i <= n; i = nxt + 1){ nxt = n / (n / i); ans = (ans - (nxt - i + 1) * S(n / i) % P) % P; } return _mu = ans; } int main(){ cin >> n; init(n); LL ans = 0; for (int i = 1,nxt; i <= n; i = nxt + 1){ nxt = n / (n / i); LL tmp = sum(n / i); tmp = tmp * tmp % P; ans = ans + (S(nxt) - S(i - 1)) % P * tmp % P; } ans = (ans % P + P) % P; cout << ans << endl; return 0; }
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