中国剩余定理介绍

数论的博客写的我头皮发麻。。

中国剩余定理介绍

在《孙子算经》中有这样一个问题:”今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？”这个问题称为”孙子问题”。

具体解法

解法分三步。

1，找出三个数:从3和5的公倍数找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数找出被5除余1的最小数21，从5和7的公倍数找出被3除余1的最小数70。

2，用15乘以2(2为最终结果除以7的余数)，用21乘以3(5为最终结果除以5的余数)，用70乘以2(2为最终结果除以3的余数)。取这三个数的和233。

3,233再模上3,5,7的最小公倍数105.得23，即23为符合条件的最小数。

中国剩余定理的正确性分析

一，首先我们已经找出三个数15,21,70，它们分别模7,5,3为1，并且模另外两个为0。当它们各自乘以答案需要的余数时，得出来分别为30,63,140，它们同样符合上面的性质，只是模上7,5,3变成了2,3,2。取它们的和233便为一个符合题意的答案。这里用到的性质为如果a%b=c,那么(a*k)%b=(c*k)%b。

二，为了求出符合题意的最小正整数，我们将233模上lcm(3,5,7).这里用到的性质为如果a%b=c,那么(a+k*b)%b=c。为了保证模3,5,7为答案需要的余数，我们则可以使k*b=lcm(3,5,7).这也说明了他们的循环节为lcm(3,5,7).

推广到一般情况:

例如下面的一元线性同余方程组:

　　x≡a1(modm1)x≡a1(modm1)

　　x≡a2(modm2)x≡a2(modm2)

　　x≡a3(modm3)x≡a3(modm3)

　　　　… …

　　x≡an(modmn)x≡an(modmn)

　

　令整数m1,m2,m3,...,mnm1,m2,m3,...,mn 两两互质，m=m1∗m2∗m3∗...∗mnm=m1∗m2∗m3∗...∗mn,则对于任意的整数a1,a2,a3,...,ana1,a2,a3,...,an，X有解。

　求解X的过程:X=(除以m1m1 余a1a1 的m2,m3,...mnm2,m3,...mn 的公倍数+…+除以mjmj 余ajaj的m1,m2,m3,...,mj−1,mj+1,...,mnm1,m2,m3,...,mj−1,mj+1,...,mn 的公倍数)%m。

　

我们来一步一步解决这个式子。

当计算第一个的时候，我们设Mi=m/m1,那么问题就是求x∗Mi≡a1(modm1)x∗Mi≡a1(modm1)，所以这里就可以用exgcd求解出x了。

代码

void gcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y) {
if (!b) {
d = a;
x = 1;
y = 0;
}
else {
gcd(b, a%b, d, y, x);
y -= x*(a / b);
}
}

ll solvechina()
{
ll x, d;
ll res = 0;
for (int i = 1;i <= C;i++)
{
ll Mi = M / m[i];
gcd(m[i], Mi, d, d, x);
//x = (x%m[i] + m[i]) % m[i];
ll tmp = Mi*x%M;
tmp = tmp*_a[i] % M;
res = (res + tmp) % M;
}
return res;
}