个人对于补码的一些理解

写在前面：
所有的内容都是按照个人理解写成，请大家批判看待。

一、基础概念原码, 反码, 补码 详解
这篇文章清楚的讲解了基础概念，也做了一些数学上的说明。

二、原码有何问题？    由于计算机位数的限制，在一般的编程语言中，整数所表示的范围都是有限的。java中，整数是32位，所以最多能表示2^32个数。人类最容易想到的就是原码的表示方式：第一位数用来表示正负，后面的位数用来表示值，表示的范围为-(2^31-1) ~(2^31-1)。这种表示方式对于人类的理解非常友好。但是，对于计算机来说怎么样呢？这种编码方式下怎么进行加减计算呢？a+b(a,b可正可负，所以加减法情况都包括了)的计算可以分为以下两种情况进行讨论：        1）a * b > 0：即ab同为正或同为负。那么需要保持符号位不变，数值位直接相加。向上溢出（结果大于2^31-1）会从+0开始重新循环，向下溢出(结果小于-(2^31-1))会从-0开始循环。
        2）a * b < 0：即ab异号。那么需要先判断ab的数据谁大。决定结果是正还是负。然后数值位大的送去数值位小的。
    这.....是不是太麻烦了一点（以上是个人分析，不保证是最优方法），如果所以计算机进行的加减操作都需要进行这么多种判断，那效率实在是堪忧。再者，当发生溢出时，我们期望的规则是什么？当然，我们期望的溢出规则是像时钟一样，从12向上溢出变为0，从0向下溢出变为12。    那么有没有一种编码方法，可以
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保证满足我们的溢出规则，同时又保持高效呢？答案是肯定的，这就是我们的补码。下面我将按照我的理解分析分析补码为什么高效。

三、补码有啥好处？
     整数最大值：01111111 11111111 11111111 11111111  加1，变成了：10000000 00000000 00000000 00000000。我们希望加1能够向上溢出表示最小值，那么让10000000 00000000 00000000 00000000这个值表示最小值如何呢？取消之前的符号位定义，将第一位定义成：-k*2^31（k表示第一位的数值，为0或1）。后面的每一位都跟原码含义一样。这样，上界加1溢出到下界，下界减1溢出到上界，貌似很完美，那么进行加法运算呢？以a+b来进行说明。        1) a>=0&& b>=0,所有位直接相加即可得到正确结果。(如果发生溢出则上界溢出到下界)        2) a>=0 && b< 0。又分为|a| > |b|和|b|>|a|两种情况。
            |a| > |b|  直接相加。   a低31位的值为|a|,b的低31位值为2^w-|b|。因为|a|>|b|,所以低31位相加会发生溢出。所以最高位结果最终为0，低31位结果为|a|-|b|。跟真实结果相符。            |a| < |b|  直接相加。   a低31位的值为|a|,b的低31位值为2^w-|b|。因为|a|<|b|,所以低31位相加不会发生溢出。所以最高位结果最终为1，低31位结果为2^31-|b|+|a|。跟真实结果相符。        3)a<0 && b<0            |a| + |b| < 2^31。直接相加。   a低31位的值为2^31-|a|,b的低31位值为2^31-|b|。因为 |a| + |b| < 2^31，所以2^31-|a|-|b|不会溢出。将其中一个2^31向高位进1，所以最高位结果最终为1，低31位结果为2^31-|a|-|b|。跟真实结果相符。               |a| + |b| > 2^31。直接相加。   a低31位的值为2^31-|a|,b的低31位值为2^31-|b|。因为 |a| + |b| > 2^31，所以2^31+2^31-|a|-|b|才不会溢出，0<2^31+2^31-|a|-|b|<2^31。所以最高位结果最终为1，低31位结果为2^31+2^31-|a|-|b|。最终结                                        果为正。跟真实结果相符。           所以，最最重要的结论出现了。补码的加减法运行全部都可以当做按位相加的加法来进行运算，不管数的正负，也不管结果的正负，不需要关心最高位是0还是1，只要用补码表示，就能得到正确结果。天啦，简直太神奇了，太完美了。四、补码是咋发明的？    这个真不知道。也许就是这么凑出来的，也许背后有着精妙的数学逻辑，也许补码的正确性也有简洁而又美的证明。这些，等我以后学到了再来补充^_^。