备考蓝桥杯（16）包子问题 java实现

package pers.robert.lanqiaobei08;

import java.util.Scanner;

/**
*
标题：包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子

当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入
----
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出
----
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

例如，
输入：
2
4
5

程序应该输出：
6

再例如，
输入：
2
4
6

程序应该输出：
INF

样例解释：
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

* @author Robert
*
*/
public class The08BaoZiShuMuDemo1_question {
static int dp[] = new int[10000];

public static boolean judge(int x, int y) {
int t;
while (y > 0) {
t = x % y;
x = y;
y = t;
}
if (x == 1)
return true;
return false;
}

public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int a[] = new int[200];
int n = 0, i, j, res, mark;
n = scanner.nextInt();
while (true) {
res = 0;
mark = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = scanner.nextInt();
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
for (j = 1; j <= n; j++) {
if (judge(a[i], a[j])) {
mark = 1;
break;
}
}
if (mark == 1)
break;
}
if (mark != 1) {
System.out.println("INF");
continue;
}
dp[0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j < 10000; j++) {
if (a[i] > j){
continue;
}//判断a[j-a[i]]==1则，等于a[j]==1？
if (dp[j - a[i]] == 1){
//                    	System.out.println(j+":"+a[i]);
dp[j] = 1;
}
}
for (i = 0; i < 10000; i++) {
if (dp[i] != 1){
//                	System.out.print(i);
res++;
}
}
System.out.println(res);
}
}
}

/**
* for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j+a[i] < 100*100+5; j++){
if(dp[j]) dp[j+a[i]] = 1;
}
}
*/

分析：1.如果所有笼子的最大公约数不是1，那么奇数数量的包子将都不能分配，这里使用欧几里得gcd递归公司求最大公约数，如果存在任意两个笼子之间的最大公约数为1，那么就可以分配好，否则将无法分配
2. dp[0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j < 10000; j++) {
if (a[i] > j){
continue;
}//判断a[j-a[i]]==1则，等于a[j]==1？
if (dp[j - a[i]] == 1){
// System.out.println(j+":"+a[i]);
dp[j] = 1;
}
}这里使用的是完全背包解决
那什么是完全背包呢？
完全背包：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？对比一下，看到的区别是，完全背包问题中，物品有无限多件。往背包里面添加物品时，只要当前背包没装满，可以一直添加。那么状态转移方程为：f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]
使用内存为一维数组，伪代码for i=1……Nfor j=1……Mf[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品），向i种物品时的背包添加第i种物品。代码如下：#include<iostream>  
using namespace std;  
#define  V 1500  
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  
unsigned int weight[10];  
unsigned int value[10];  
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
int main()  
{  
      
    int N,M;  
    cin>>N;//物品个数  
    cin>>M;//背包容量  
    for (int i=1;i<=N; i++)  
    {  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    }  
    for (int i=1; i<=N; i++)  
        for (int j=1; j<=M; j++)  
        {  
            if (weight[i]<=j)  
            {  
                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);  
            }             
        }  
      
    cout<<f[M]<<endl;//输出最优解  
  
}  
看完完全背包问题,再看看01背包问题：
01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？看到这个问题，可能会想到贪心算法，但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。这就得出了状态转移方程：f[i+1][j]=max(f[i][j],f
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[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。可以写出代码测试：
[cpp] view plain copy#include<iostream>  
using namespace std;  
#define  V 1500  
unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0  
unsigned int weight[10];  
unsigned int value[10];  
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
int main()  
{  
      
    int N,M;  
    cin>>N;//物品个数  
    cin>>M;//背包容量  
    for (int i=1;i<=N; i++)  
    {  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    }  
    for (int i=1; i<=N; i++)  
        for (int j=1; j<=M; j++)  
        {  
            if (weight[i]<=j)  
            {  
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  
            }  
            else  
                f[i][j]=f[i-1][j];  
        }  
      
    cout<<f
[M]<<endl;//输出最优解  
  
}  

在hihocoder上面还讲到可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。for i=1……Nfor j=M……1f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])[cpp] view plain copy#include<iostream>  
using namespace std;  
#define  V 1500  
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  
unsigned int weight[10];  
unsigned int value[10];  
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
int main()  
{  
      
    int N,M;  
    cin>>N;//物品个数  
    cin>>M;//背包容量  
    for (int i=1;i<=N; i++)  
    {  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    }  
    for (int i=1; i<=N; i++)  
        for (int j=M; j>=1; j--)  
        {  
            if (weight[i]<=j)  
            {  
                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);  
            }             
        }  
      
    cout<<f[M]<<endl;//输出最优解  
  
}