解决ax+by=c，不定方程（扩展欧几里得）

首先有几个定理我们需要知道，在这里我也会一一证明。
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定理1：gcd(a,b)==gcd(b,a%b);这个是欧几里得提出并证明的。 (%是取余的意思，在数学中
可用mod表示)；
以下是证明过程
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令a = k * b + r; （k为整数）；=> r = a%b;
设d是a,b的任意一个公约数。=> d|a, d|b(d|a的意思是d能被a整除)；
又 r = k * b - a    =>d|（k*b - a）;
以上可得d|b, d|(a%b),   =>d是b, a % b的公约数；
以上得 d既是a,b的公约数，又是b, a % b的公约数；
以上可得 gcd(a, b) == gcd(b, a%b);
证毕
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定理2:a*x + b*y ==gcd(a,b)一定存在解。这个定理又叫裴蜀定理，或贝祖定理。
以下会证明过程
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现在还不会............
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以下是求解 a*x +b*y  == gcd(a,b)的过程。
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当 b = 0时，a * x == gcd(a,0) == a;  =>x=1,y=0;
当a>b>0时：
由定理1得gcd(a,b) == gcd(b,a%b);
易得 a*X1 + b*Y1 == b * X2 + (a % b) * Y2;
=> a*X1 + b*Y1 == b * X2 +(a-[a / b] * b) * Y2;  (此处的/是不带余除法，也就是c++中的/);
=> a*X1 + b*Y1 == a * Y2 + b * (X2 - [a / b] * y2);
以上可得 1. X1 == Y2;
               2.Y1 == X2 - [a / b] * y2;

显然 以上两个方程式可以一直递归下去；
我们只要递归到b == 0的时候，就能求出Xn = 1, Yn = 0。然后我们一直往前回溯就能求出
X1,Y1;
代码如下：#include<stdio.h>
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y);
int main()
{

int a, b, x = 0, y = 0;

scanf("%d %d",&a, &b);

int gcd = exgcd(a,b,x,y);

printf("%d %d %d\n", gcd, x, y);

return 0;
}

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{

if(b>a)
return exgcd( b, a, y, x);

if(b==0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int r=exgcd(b, a%b, x, y);

int temp = x;

x = y;

y = temp - (a/b) * y;

return r;

}以上是求 a*x +b*y == gcd(a,b)某一组特解X1,Y1的过程
所以a*x + b*y == gcd(a,b)的通解为 X = X1 - b/gcd(a,b)*t
                                                        Y = Y1 + a/gcd(a,b)*t        t为任意整数。

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以下就是求ax + by = c的过程。为了好表示，我们将ax + by == gcd(a,b) 等价为 am + bn == gcd(a,b).
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当c % gcd(a,b) == 0 时有解，令 k * gcd(a,b) == c;
=> k*a*m + k*b*n == k*gcd(a,b);
=>x == k*m == c*m/gcd(a,b)  ,  y == k*n == c*n/gcd(a,b) ;

设 X0 ，Y0 是 a*x + by 的某一特解。则 该不定方程的通解为
X = X0 - b/gcd(a,b)*t;
Y = Y0 + a/gcd(a,b)*t;            t为任意一个整数
X = (c*M0 - b*t)/gcd(a,b);
Y = (c*N0 + a*t)/gcd(a,b);
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综上求解不定方程a*x + b*y == c的步骤为
1.  先用扩展欧几里得求出 a*m + b* y ==gcd(a,b)的一组特解 M0,N0;
2.  求出a*x + b*y ==c 的通解为    X = (c*M0 - b*t)/gcd(a,b);
                                                     Y = (c*N0 + a*t)/gcd(a,b);