容斥原理的公式推导

对于容斥原理的最简单的理解就是，把要计算的加上，然后把加多的减掉，然后再把减多的再加回去。这样循环下去就对了。

一个好理解的例子就是一个班上有三个兴趣班（c++，java，pasico），每个人都报了兴趣班。30人报了一个，12人报了两个，3人报了三个，求班上有多少人？这是一道小学题，自然也很简单。ans=30-12+3=21（人）。然后这样为什么是对的呢？我们思考一下30之中把报了两项的人计算了2次，把报了三项的人计算了3次。12中把报了3项的人计算了3次。所以我们用那个加减表示每种人都只计算1次的答案。（可以看图再理解一下）



但是并没有那么简单，因为不可能每道题的系数都是-1和1的交替。要解决更一般性的问题，我们可能要自己推系数，我们重点讲一下推系数的方法。

一般的，由总结的公式得出∑ni=1s(Ci)fi=s(C0)∑i=1ns(Ci)fi=s(C0),其中s(Ci)s(Ci)表示所有物品在满足CiCi情况下的总贡献（一般的计数问题s(Ci)s(Ci) 就是 满足条件CiCi 情况的个数）,而fifi是一个系数，在计算时，我们才能把除答案以外的的贡献消掉。（这是用于计算答案的式子）要对这个公式有一个理解，我们还是举两个例子。

一、（错排问题），一串1−n1−n的数列，求对于任意ii不在第ii位排列的方案数。

对于这个问题，首先我们要构造CiCi，当然这是很简单的，我们很容易就可以想到：CiCi表示满足有至少ii个不错排数的情况。所以有：∑ni=0Cin∗fi==[n==0]∑i=0nCni∗fi==[n==0]。反正第一次看人家推这个式子是懵逼的，为啥s(Ci)s(Ci)变成一个组合数了呢？其实仔细推敲一下还是可以理解的。首先，上面的式子和下面是有区别的。也就是说，这俩货都不是一个东西。这个式子是用来计算fifi的！！！

现在大概能懂了吧，假设有一个恰好有nn个不错排数的情况，它在i=0i=0时被计算了C0nCn0次，在i=1i=1时被计算了C1nCn1次，以此类推……因为我们要求的的是错排数列，所以当n≠0n≠0时是不符合题意的，我们要让它的贡献为0（另：只有n=0n=0时，这个排列的贡献为1）。然后可以想到一个n2n2递推fifi的方法。当然这类fifi是有规律的，我们打表可知：fi=(−1)ifi=(−1)i。

至此我们把fifi全部计算出来了，之后我们怎么计算答案呢？这个时候我们就可以使用上面一个公式了。ans=∑ni=1Cin∗(n−i)!∗fians=∑i=1nCni∗(n−i)!∗fi。

是不是很神奇呢？

二、（约数问题），给定mm个数，统计在[1,n][1,n]中，有奇数个整除它的数的个数。(ii属于[1,n][1,n]，若在这mm个数里，有奇数个数可以整除ii，则ansans++)，m≤15m≤15，n≤1e9n≤1e9。

枚举nn的复杂度是n∗mn∗m的，显然会超时，考虑容斥。

枚举mm的子集，求lcmlcm，有了第一题的经验，我们写出式子：∑ki=0Cin∗fi=[k%2==1]∑i=0kCni∗fi=[k%2==1]，(奇数时贡献为1)。对于一个约数恰好为kk个的数，它在计算至少0个约数的时候计算了C0kCk0次，在计算至少1个约数时计算了C1kCk1次，以此类推……

怎么计算答案呢？ans=∑(s∈m)nlcm(s)∗f|s|ans=∑(s∈m)nlcm(s)∗f|s|。

其实看懂了也很简单，一般求fifi的式子含组合数，当然也有可能是一些奇奇怪怪的东西，比如斯特林数什么的。