大数乘法问题及其高效算法

题目

编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。比如：题目描述： 输出两个不超过100位的大整数的乘积。 
输入： 输入两个大整数，如1234567 和 123 
输出： 输出乘积，如：151851741或者

求 1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 的乘积结果

分析

所谓大数相乘（Multiplication algorithm），就是指数字比较大，相乘的结果超出了基本类型的表示范围，所以这样的数不能够直接做乘法运算。参考了很多资料，包括维基百科词条Multiplication algorithm，才知道目前大数乘法算法主要有以下几种思路：模拟小学乘法：最简单的乘法竖式手算的累加型；
分治乘法：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
快速傅里叶变换FFT：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。具体可参照Schönhage–Strassen algorithm；
中国剩余定理：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
Furer’s algorithm：在渐进意义上FNTT还快的算法。不过好像不太实用，本文就不作介绍了。大家可以参考维基百科Fürer’s algorithm

解法

我们分别实现一下以上算法，既然不能直接使用乘法做运算，最简单最容易想到的办法就是模拟乘法运算。

1、模拟乘法手算累加

7 8 9 6 5 2
×         3 2 1 1
-----------------
7 8 9 6 5 2   <---- 第1趟
7 8 9 6 5 2     <---- 第2趟
..........       <---- 第n趟
-----------------
? ? ? ? ? ? ? ?   <---- 最后的值用另一个数组表示

如上所示，乘法运算可以分拆为两步：第一步，是将乘数与被乘数逐位相乘；
第二步，将逐位相乘得到的结果，对应相加起来。
这有点类似小学数学中，计算乘法时通常采用的“竖式运算”。用C++简单实现了这个算法，代码如下：vector<int> bigNumerMultiply(vector<int> vec1, vector<int> vec2)
{
vector<int> result;//中间求和的结果，并逆序保存

for(int i=vec2.size()-1; i>-1; --i)
{
int carry = 0;
vector<int> single;
for(int j=vec1.size()-1; j>-1; --j)
{
int r = vec2[i]*vec1[j] + carry;
int digit = r % 10;
carry = r / 10;
single.push_back(digit);
}
if(carry != 0)
{
single.push_back(carry);
}
int resultCarry = 0;
int count = 0;
int k = 0;
int m = 0;
int offset = vec2.size() - 1 - i;//加法的偏移位
vector<int> middleResult;

//vec2每位乘法的结果与上一轮的求和结果相加，从右向左做加法并进位
while(k < single.size() || m < result.size())
{
int kv = 0;
int mv = 0;
if(k < single.size() && count >= offset)
{
kv = single[k++];
}
if(m < result.size())
{
mv = result[m++];
}
int sum = resultCarry + kv + mv;
middleResult.push_back(sum % 10);
resultCarry = sum / 10;
++count;
}
if(resultCarry != 0)
{
middleResult.push_back(resultCarry);
}
result.clear();
result = middleResult;
}

//将结果逆序
int len = result.size();
for(int i = 0; i < len / 2; ++i)
{
swap(result[i],result[len-i-1]);
}
return result;
}看了以上的代码，感觉思路虽然很简单，但是实现起来却很麻烦，那么我们有没有别的方法来实现这个程序呢？答案是有的，接下来我来介
4000
绍第二种方法。

2、模拟乘法累加 - 改进

简单来说，方法二就是先不算任何的进位，也就是说，将每一位相乘，相加的结果保存到同一个位置，到最后才计算进位。例如：计算98×21,步骤如下 9 8
× 2 1
-------------
(9)(8) <---- 第1趟: 98×1的每一位结果
(18)(16) <---- 第2趟: 98×2的每一位结果
-------------
(18)(25)(8) <---- 这里就是相对位的和，还没有累加进位 这里唯一要注意的便是进位问题，我们可以先不考虑进位，当所有位对应相加，产生结果之后，再考虑。从右向左依次累加，如果该位的数字大于10，那么我们用取余运算，在该位上只保留取余后的个位数，而将十位数进位（通过模运算得到）累加到高位便可，循环直到累加完毕。核心代码如下：vector<int> bigNumberMultiply2(vector<int> vec1, vector<int> vec2)
{
vector<int> result(vec1.size()+vec2.size());
for(int i = 0; i < vec1.size(); ++i)
{
for(int j = 0; j < vec2.size(); ++j)
{
result[i+j+1] += vec1[i] * vec2[j];
}
}
for(int k = result.size()-1; k>0; --k)
{
if(result[k] > 10)
{
result[k-1] += result[k] / 10;
result[k] %= 10;
}
}
/*
例如10*10,result的第一位为0,数第一位为0没有意义,所以删掉
*/
if(result[0] == 0)
{
vector<int>::iterator ite1 = result.begin();
result.erase(ite1);
}
return result;
}！！注意：这里的进位有个大坑，因为result[]数组是从左到右记录相对位的和（还没有进位），而最后的进位是从右向左累加进位，这样的话，如果最高位，也就是最左侧那一位的累加结果需要进位的话，result[]数组就没有空间存放了。
而正好

result[]

数组的最后一位空置，不可能被占用，我们就响应地把num1的第i位与num2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上的这个结果往后顺移一位（

放到第i+j+1位

），最后从右向左累加时就多了一个空间。