以斐波那契数列为例分析递归算法的时间复杂度和空间复杂度

首先来波概念：   递归算法的时间复杂度：递归的总次数*每次递归的数量。   递归算法的空间复杂度：递归的深度*每次递归创建变量的个数。  那什么是斐波那契额数列呢？对于菲波那切数列有典型的生兔子的的问题，在这我就不多说了，感兴趣的同学可以自行查找资料来了解，简单的说，菲波那切数列数列就是前两项是1，后面的每项是其前两项之和。比如：1 1 2 3 5 8 13....   下边我们来分别用不同的方法来求一下斐波那契。（1）首先采用递归的方法来求一下：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h>int Fib(int n){if (n < 3){return 1;}else{return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);}}int main(){int n = 50;int ret = Fib(n);printf("%d\n", ret);getchar();}


在递归调用过程中Fib(3)被计算了2次，Fib(2)被计算了3次。Fib(1)被调用了5次，Fib(0)中被调用了3次。所以，递归的效率低下，但优点是代码简单，容易理解。 递归算法时间复杂度为(二叉树的节点个数）：O()=(2^h)-1=2^n。空间复杂度为树的高度：h即o(n).（2）可用尾递归方法来求，尾递归若优化，空间复杂度可达到o(1)，但时间复杂度是o(n);#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
long Fib(long first, long second, long n){
if (n < 3)
return 1;
if (3 == n)
{
return first + second;
}
return Fib(second, first + second, n - 1);

}
int main()
{
int n = 5;
int ret = Fib(1,1,5);
printf("%d\n", ret);
getchar();
}

(3) 采用循环结构实现。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
long Fib(long first, long second, long n){
int third = 0;
if (n < 3)
return 1;
while (n >3){
int temp = second;
second = first + second;
first = temp;

n--;
}
third = first + second;
return third;

}
int main()
{
int n = 6;
int ret = Fib(1,1,n);
printf("%d\n", ret);
getchar();
}

此时时间复杂度达到了o(n),空间复杂度达到了o(1).所以综上所述，求菲波那切数列最好使用循环的方式。
最后来科普一下，常用时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是o(1）<o(log2n)<o(n)<o(nlog2n)<o(n^2)<o(n^3)<o(2^n)<o(n!)<o(n^n).