Hyperspectral Image Super-Resolution via Non-Negative Structured Sparse Representation论文阅读笔记(PART)

Hyperspectral Image Super-Resolution via Non-Negative Structured Sparse Representation论文阅读笔记II. PROBLEM FORMULATION
本文目标：
从一幅LR高光谱图像

和一副同样场景的HR RGB图像

中恢复一副HR高光谱图像

。
其中，

和

分别表示Z和X的像素总数，L是Z的光谱数(L>>3)。

X和Y都可以表达成希望恢复的HR高光谱图像Z的线性组合：


其中，

表示退化矩阵(模糊和下采样)，P是一个变换矩阵将Z映射到它的RGB表达Y。因为X和Y的总测量值个数远小于未知Z的总个数，即

，所以从X和Y中恢复Z是一个不适定(ill-posed)问题，常用利用未知Z的先验知识的正则化方法解决。
稀疏先验在高光谱图像重建方面的不适定问题是有效的，其假设目标图像Z的每个像素

可以表示为少数不同的谱间特征的线性组合：

其中，

是谱间字典，

是稀疏的the fractional abundance vector ，

是估计误差。D的每一列表示该场景覆盖物质的辐射向量。

因为观察到的高光谱图像

，所以X中的每个像素

可表示为：


其中，

代表位置i处的窗

的加权系数，

是一个稀疏向量。
对于HR RGB图像Y，可以表示为：


由此可看出，给定
4000
一个谱间字典D，稀疏向量

可以从Y中估计得到。

III.PROPOSED METHOD
根据式(2)，我们可以将Z重写为：


其中，系数矩阵

，但是，式(5)中谱间字典D和系数矩阵A都未知。本文打算利用X和Y来估计D和A。
A. Spectral Dictionary Learning
因为LR高光谱图像X的每个像素可以表示为少数谱特征的线性组合，我们可以从X中估计D：
式(3)的矩阵形式可以写为：

其中，

是系数矩阵，V是估计误差矩阵，假设为加性高斯噪声。B和D都未知。谱间字典D的估计可通过解决下面的稀疏非负矩阵分解问题得到：

本文中，受启发于K-SVD和ODL(online dictionary learning)算法，我们提出一种高效的非负DL算法，其在每次迭代中通过一个闭解更新每个原子。对于一个固定的D，对于B的子问题变为：

使用ADMM算法解决式(8)：式(8)可写成：

式(9)的增广拉格朗日函数为：



是拉格朗日乘子

。则解决式(9)包含以下迭代步骤：

其中，j是迭代次数。并且

，S，B更新方式分别为：



其中，

是软收缩算子，并且


对于固定的B，D通过下式进行更新：

在本文中，与ODL方法类似，我们提出采用block coordinate descent 解决式(14)，即在非负约束下，每次迭代中更新D的一列同时保持其他列固定。令

表示第t次迭代后的字典，



则

可以通过求解式(15)得到：



其中，




算法描述：