欧几里得算法求解最大公约数

这里主要要介绍的欧几里得算法，主要是用于求解两个整数的最大公约数的问题。

传统的求解方法是采用暴力枚举的方法，即枚举所有可能值取其最大。其算法描述如下：

给定两个整数a,b
c = min{a, b}
max = 0; // 保存最大公约数
for i:0->c
if (a % i == 0) And (b % i == 0) // '%'表示取模运算
if (max < i)
max = i;
return max;

显然，暴力破解所花费的时间会随着两个整数的增大而上升，尤其是当超过10000000后，求解速度就不是很理想了。

接下来介绍的欧几里得算法可用于简化该问题求解的规模。

假设 gg 是两个整数 aa 和 bb 的公约数，即存在整数 ll 和 mm，使得下列式成立

a=g⋅mb=g⋅l(1)(1)a=g⋅mb=g⋅l

不妨假设 a>ba>b，则有如下成立：

a=b⋅k+r(2)(2)a=b⋅k+r

其中 r≡a(modb),k∈Nr≡a(modb),k∈N，即 rr 是 aa 除 bb 的余数

将 (1) 代入 (2) 可得：

g⋅m=g⋅l⋅k+r⇒r=g⋅(m−l⋅k)(3)(3)g⋅m=g⋅l⋅k+r⇒r=g⋅(m−l⋅k)

即 rr 可以整除 gg

通过(1)、(2)、(3)可知，gg 同时是 a,b,ra,b,r的公约数

那么，求解 a,ba,b 的最大公约数，是不是等价于求解 b,rb,r 的最大公约数呢？

接下来证明这个命题：

假设 gg是 a,ba,b 的最大公约数，而r,br,b的最大公约数为 g∗g∗，其中 g∗>gg∗>g，即

r=g∗⋅nb=g∗⋅l∗(4)(4)r=g∗⋅nb=g∗⋅l∗

将(4)代入(2)

a=g∗⋅l∗⋅k+g∗⋅n∗⇒a=g∗(l∗⋅k+n)a=g∗⋅l∗⋅k+g∗⋅n∗⇒a=g∗(l∗⋅k+n)

即

a=g∗(l∗⋅k+n)b=g∗⋅l∗(5)(5)a=g∗(l∗⋅k+n)b=g∗⋅l∗

由(5)可知，g∗g∗也是 a,ba,b的公约数。但之前假设 gg 是 a,ba,b 的最大公约数，而 g∗>gg∗>g，所以这与条件相矛盾。故说明求解 a,ba,b 的最大公约数等价于求解 b,rb,r 的最大公约数。

通过欧几里得算法，可以将求解 a,ba,b 的最大公约数转化为求解 b,rb,r 的最大公约数。注意到，该过程是可以重复的。其伪代码如下：

给定两个整数a,b // 假设 a > b > 0
while (r == 0) {
r = a % b;
a = b;
b = r;
}
return a;