python之斐波那契青蛙跳台阶、矩阵覆盖问题及其优化

python之斐波那契青蛙跳台阶、矩阵覆盖问题优化

题目描述：

（1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

（2）一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

问题一，简单分析可以得到一个斐波那契问题，解决方案有迭代和递归，还有在python中还可以用匿名函数，几种实现如下：

def fib(n):
"""
迭代斐波那契
"""
if type(n) != int or n <= 0:
return
a, b = 0, 1
for _ in range(n):
a, b = b, a+b
return b

def fib_1(n):
"""
递归斐波那契
"""
if type(n) != int or n <= 0:
return
if n <= 2:
return n
return fib_1(n-1) + fib_1(n-2)

# 匿名斐波那契
fib_2 = lambda n:n if n <=2 else fib_2(n-1)+fib_2(n-2)

递归用的是将中间结果压栈的方式，所以性能相对较差，建议用迭代

类似问题（矩形覆盖）：我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？（第一块放在边上，可以横着放或者竖着放，对应的方法为f(n-1)+f(n-2)，所以仍为斐波那契数列问题）

问题二分析：

设跳n级有f(n)种方法，

则第一步可以选择跳1.2.3…n级，

则接下来有f(n-1).f(n-2).f(n-3)…f(1),

由此可见f(n)=f(1)+…+f(n-1)+1=2^(n-1)，

即求2的n-1次方。

问题到此就得以解决了~

但是！光是这样解决问题，并不是最好的解决方法。

当n很大的时候，如何解决？对于乘法如何优化？

这里给出两个优化思路：

1. 分治思想

2. 利用位计算代替乘除运算，以提高效率

因此，优化后的解决方案如下：

def power_2(n):
if type(n) != int or n <= 0:
return
if n == 1:
return 2
result = power_2_2(n>>1)
result *= result
if 1 == n&1:
# 判断奇偶
result = result<<1
return result

此问题可以扩展为求任何数（整数、小数、0）的整数次方（包括0和负数）

优化方案都类似，就不再赘述了

以上为本文全部内容，欢迎指正和交流~