循环神经网络1—RNN

这周在看循环神经网络，发现一个博客，里面的推导过程极其详细，借此记录重点

详细推导

强烈介意手推一遍，虽然可能会花一点时间，但便于理清思路。

语言模型

RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，比如，RNN可以作为语言模型来建模。

什么是语言模型？

语言模型：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。

语言模型可以用在语音转文本（STT）上，也可以用在图像到文本的识别中（OCR）。

使用RNN之前，语言模型主要采用N-Gram，即先对句子切词，再在语料库中搜索前n个词进行预测，这样想法没有实用性，因为根本没有用到有用的信息，并且该模型还会占用海量的存储空间。

所以，RNN出现，理论上RNN可以往前看（往后看）任意多个词。

循环神经网络

基本神经网络

如上图左，一个简单的循环神经网络由一个输入层、一个隐藏层和一个输出层组成。

其中，xx是一个向量，代表输入层的值；ss是一个向量，代表隐藏层的值；oo是一个向量，代表输出层的值。

UU是输入层到隐藏层的权重矩阵，VV是隐藏层到输出层的权重矩阵，权重矩阵WW是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。循环神经网络与普通的全连接神经网络不同的地方也就在于WW。

如上图右，可表示循环神经网络的计算方式：

otst=g(Vst)(式1)=f(Uxt+Wst−1)(式2)(1)(2)(1)ot=g(Vst)(式1)(2)st=f(Uxt+Wst−1)(式2)

其中，式1是输出层的计算公式，输出层是一个全连接层，即每一个节点都与隐藏层的每个节点相连，g代表激活函数，VV是输出层的权重矩阵。

式2是隐藏层的计算公式，它是一个循环层，f是激活函数，UU是输入xx的权重矩阵，WW是上次值st−1st−1作为这次输入的权重矩阵。

双向循环神经网络

对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，还需要看后面的词。普通的基本循环神经网络对此无法建模，因此，我们需要双向循环神经网络。



从上图可知，双向循环神经网络的隐藏层要保存两个值，一个AA参与正向计算，另一个值A′A′参与反向计算。最后的输出值y2y2取决于A2A2和A′2A2′。仿照式1和试2，双向循环神经网络的计算方法如下：

otsts′t=g(Vst+V′s′t)=f(Uxt+Wst−1)=f(U′xt+W′s′t+1)(3)(4)(5)(3)ot=g(Vst+V′st′)(4)st=f(Uxt+Wst−1)(5)st′=f(U′xt+W′st+1′)

可以看出：正向计算时，隐藏层的值stst与st−1st−1有关；反向计算时，隐藏层的值s′tst′和s′t−1st−1′有关。正向计算和反向计算不共享权重，也就是说UU和U′U′、WW和W′W′、VV和V′V′都是不同的权重矩阵。

深度循环神经网络

之前介绍的RNN都是只有一个隐藏层，当堆叠两个以上隐藏层时，就得到了深度循环神经网络



把第i个隐藏层的值表示为s(i)tst(i)、s′(i)tst′(i)，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：

ots(i)ts′(i)t...s(1)ts′(1)t=g(V(i)s(i)t+V′(i)s′(i)t)=f(U(i)s(i−1)t+W(i)st−1)=f(U′(i)s′(i−1)t+W′(i)s′t+1)=f(U(1)xt+W(1)st−1)=f(U′(1)xt+W′(1)s′t+1)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(6)ot=g(V(i)st(i)+V′(i)st′(i))(7)st(i)=f(U(i)st(i−1)+W(i)st−1)(8)st′(i)=f(U′(i)st′(i−1)+W′(i)st+1′)(9)...(10)st(1)=f(U(1)xt+W(1)st−1)(11)st′(1)=f(U′(1)xt+W′(1)st+1′)

循环神经网络的训练

循环神经网络的训练算法：BPTT

BPTT算法是针对循环层的训练算法，基本原理和BP算法一样，包含三个步骤：

前向计算每个神经元的输出值；

反向计算每个神经元的误差项δjδj值，它是误差函数E对神经元j的加权输入netjnetj的偏导数；

计算每个权重的梯度。

最后再用随机梯度下降算法更新权重。

循环层如下图所示：

1. 前向计算

使用式2对循环层进行前向计算：

st=f(Uxt+Wst−1)st=f(Uxt+Wst−1)

上式中，stst、xtxt、st−1st−1都是向量，U、V是矩阵，向量的下标表示时刻。

2. 误差项的计算

BTPP算法将第ll层的t时刻的误差项δltδtl值沿两个方向传播，一个方向是传递到上一层网络，得到δl−1tδtl−1值，这部分只与U有关；另一方向是沿时间线传递到初始t1t1时刻，得到δl1δ1l值，这部分只与W有关。

我们用向量nettnett表示神经元在t时刻的加权输入，因为：

nettst−1=Uxt+Wst−1=f(nett−1)(12)(13)(12)nett=Uxt+Wst−1(13)st−1=f(nett−1)

因此（详细推导此处略过，详情见链接）：

∂nett∂nett−1=∂nett∂st−1∂st−1∂nett−1=Wdiag[f′(nett−1)]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢w11f′(nett−11)w21f′(nett−11)wn1f′(nett−11)w12f′(nett−12)w22f′(nett−12)..w
bc2b
n2f′(nett−12).........w1nf(nett−1n)w2nf(nett−1n)wnnf′(nett−1n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(14)(15)(16)(14)∂nett∂nett−1=∂nett∂st−1∂st−1∂nett−1(15)=Wdiag[f′(nett−1)](16)=[w11f′(net1t−1)w12f′(net2t−1)...w1nf(netnt−1)w21f′(net1t−1)w22f′(net2t−1)...w2nf(netnt−1)..wn1f′(net1t−1)wn2f′(net2t−1)...wnnf′(netnt−1)]

上式描述了将δ沿时间往前传递一个时刻的规律，根据这个规律，可以求得任意时刻k的误差项δkδk：

δTk=====∂E∂netk∂E∂nett∂nett∂netk∂E∂nett∂nett∂nett−1∂nett−1∂nett−2...∂netk+1∂netkWdiag[f′(nett−1)]Wdiag[f′(nett−2)]...Wdiag[f′(netk)]δltδTt∏i=kt−1Wdiag[f′(neti)](式3)(17)(18)(19)(20)(21)(17)δkT=∂E∂netk(18)=∂E∂nett∂nett∂netk(19)=∂E∂nett∂nett∂nett−1∂nett−1∂nett−2...∂netk+1∂netk(20)=Wdiag[f′(nett−1)]Wdiag[f′(nett−2)]...Wdiag[f′(netk)]δtl(21)=δtT∏i=kt−1Wdiag[f′(neti)](式3)

式3是将误差项沿时间反向传播的算法。

循环层将误差项反向传递到上一层网络，与普通的全连接层完全一样。

(δl−1t)T===∂E∂netl−1t∂E∂netlt∂netlt∂netl−1t(δlt)TUdiag[f′l−1(netl−1t)](式4)(22)(23)(24)(22)(δtl−1)T=∂E∂nettl−1(23)=∂E∂nettl∂nettl∂nettl−1(24)=(δtl)TUdiag[f′l−1(nettl−1)](式4)

式4就是将误差项传递到上一层的算法。

3. 权重梯度的计算

首先，我们计算误差函数E对权重矩阵W的梯度∂E∂W∂E∂W.



上图展示了前两步已经计算得到的值，包括每个时刻t循环层的输出值stst以及误差项δtδt。

梯度计算算法：只要知道了任意一个时刻的误差项δtδt，以及上一个时刻循环层的输出值st−1st−1，就可以按照下面的公式求出权重矩阵在t时刻的梯度∇WtE∇WtE:

∇WtE=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢δt1st−11δt2st−11..δtnst−11δt1st−12δt2st−12δtnst−12.........δt1st−1nδt2st−1nδtnst−1n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(式5)∇WtE=[δ1ts1t−1δ1ts2t−1...δ1tsnt−1δ2ts1t−1δ2ts2t−1...δ2tsnt−1..δnts1t−1δnts2t−1...δntsnt−1](式5)

我们求得了权重矩阵W在t时刻的梯度∇WtE∇WtE，最终的梯度∇WE∇WE是各个时刻的梯度之和（至于为什么是“和”，详细推导见链接）：

∇WE==∑i=1t∇WiE⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢δt1st−11δt2st−11..δtnst−11δt1st−12δt2st−12δtnst−12.........δt1st−1nδt2st−1nδtnst−1n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥+...+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢δ11s01δ12s01..δ1ns01δ11s02δ12s02δ1ns02.........δ11s0nδ12s0nδ1ns0n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(式6)(25)(26)(25)∇WE=∑i=1t∇WiE(26)=[δ1ts1t−1δ1ts2t−1...δ1tsnt−1δ2ts1t−1δ2ts2t−1...δ2tsnt−1..δnts1t−1δnts2t−1...δntsnt−1]+...+[δ11s10δ11s20...δ11sn0δ21s10δ21s20...δ21sn0..δn1s10δn1s20...δn1sn0](式6)

式6就是计算循环层权重矩阵W的梯度的公式。

RNN的梯度爆炸和消失问题

不幸的是，前面提到的几种RNNs都不能很好的处理较长的序列。原因是RNN在训练中很容易发生梯度爆炸和梯度消失，这导致训练梯度不能在较长序列中一直传递下去，从而使RNN无法捕捉到长距离的影响。（具体原因见链接）

处理梯度爆炸：设置一个梯度阈值，当梯度超过这个阈值时可以直接截取。

处理梯度消失：

合理的初始化权重值。初始化权重，使每个神经元尽可能不要取极大值或极小值，以躲开梯度消失的区域。

使用ReLU代替Sigmoid和tanh作为激活函数。

使用其他结构的RNNs，如长短时记忆网络（LTSM）和Gated Recurrent Unit（GRU）。