牛顿插值法——用Python进行数值计算

拉格朗日插值法的最大毛病就是每次引入一个新的插值节点，基函数都要发生变化，这在一些实际生产环境中是不合适的，有时候会不断的有新的测量数据加入插值节点集，因此，通过寻找n个插值节点构造的的插值函数与n+1个插值节点构造的插值函数之间的关系，形成了牛顿插值法。推演牛顿插值法的方式是归纳法，也就是计算Ln（x）- Ln+1（x），并且从n=1开始不断的迭代来计算n+1时的插值函数。 　　牛顿插值法的公式是：



　　注意：在程序中我用W 代替 

　　计算牛顿插值函数关键是要计算差商，n阶差商的表示方式如下：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 　   关于差商我在这里并不讨论　　计算n阶差商的公式是这样：

　　很明显计算n阶差商需要利用到两个n-1阶差商，这样在编程的时候很容易想到利用递归来实现计算n阶差商，不过需要注意的是递归有栈溢出的潜在危险，在计算差商的时候更是如此，每一层递归都会包含两个递归，递归的总次数呈满二叉树分布：　　　　

　　这意味着递归次数会急剧增加:(。所以在具体的应用中还需要根据应用来改变思路或者优化代码。 　　废话少说，放码过来。　　首先写最关键的一步，也就是计算n阶差商：　　看上面的牛顿插值函数公式，有了差商，还差

　　这个就比较好实现了：　　　　　　　　OK， 牛顿插值法最重要的两部分都有了，下面就是将这两部分组合成牛顿插值函数，如果是c之类的语言就需要保存一些中间数据了，我利用了Python的闭包直接返回一个牛顿插值函数，闭包可以利用到它所处的函数之中的上下文数据。　　　　上面这段代码就是对牛顿插值函数公式的翻译，注意get_Wi函数的参数是i-1，这个从

函数的表达式可以找到原因。 　　构造一些插值节点　
　　　 　获得牛顿插值函数　　

 完整代码：