二叉树的定义、存储结构、树的遍历

参考：《大话数据结构》 程杰版

二叉树的定义：

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树具有五种基本的形态：

1. 空二叉树。

2. 只有一个根结点。

3. 根结点只有左子树。

4. 根结点只有右子树。

特殊的二叉树

1. 斜树。

2. 满二叉树。

3. 完全二叉树。

二叉树的顺序存储结构：

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系。

使用顺序存储结构表现二叉树的时候，在其线性结构中，会存在一些空结点，但是其会占据一定的内存空间，会造成存储空间的浪费；所以，顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

二叉树的链式存储结构：

由于二叉树的每个结点最多有两个孩子，所以为每个结点设计一个数据域和两个指针域，通常将其称之为二叉链表。

二叉链表的结点结构定义代码：

typedef char TElemType;
typedef struct BinaryTreeNode{
TElemType data;
//lchild指向左结点的指针
//rchild指向右结点的指针
struct BinaryTreeNode *lchild,*rchild;
}BinaryTreeNode,*BinaryTree;

二叉树的遍历

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序一次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

二叉树的遍历方法：

1. 前序遍历

2. 中序遍历

3. 后序遍历

1.首先创建一棵二叉树

构建二叉树，向结点的数据域中添加字符。

void CreateBinaryTree(BinaryTree *T){
TElemType ch;
cin>>ch;
if (ch=='$'){
*T=NULL;
}else{
*T=new BinaryTreeNode;
if (!*T)return;
(*T)->data=ch;
CreateBinaryTree(&(*T)->lchild);
CreateBinaryTree(&(*T)->rchild);
}
}

2.二叉树的前序遍历算法

void PreOrderTraverse(BinaryTree T){
if (T==NULL){
cout<<"#"<<"  ";
return;
}
cout<<T->data<<"  ";
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
}

3.二叉树的中序遍历算法

void InOderTraverse(BinaryTree T){
if(T!=NULL){
cout<<"#"<<"  ";
return;
}
InOderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data<<"  ";
InOrderTraverse(T->rchild);
}

4.二叉树的后序遍历算法

void PostOrderTraverse(BinaryTree T){
if (T->NULL){
cout<<"#"<<"  ";
return;
}
PostOrderTraverse(T->lchild);
PostOrderTraverse(T->rchild);
cout<<T->data<<"  ";
}

前序遍历、中序遍历和后序遍历算法的核心算法大致相同，都是利用了函数递归的原理。这里顺带补充一下关于函数递归调用的原理：

裴波那契数列的实现来讲解函数的递归调用，假设存在这样一个函数：

F(n)=
\begin {cases}
0,\quad n\ =0 \\
1,\quad n\ =1 \\
F(n-1)+F(n-2),\quad n>1
\ end {cases}

使用递归实现裴波那契数列代码如下：

int Fibonacci(int i){
if (i<2){
return i==0?0:1;
}
return Fibonacci(i-1)+Fibonacci(i-2);
}

通过二叉树的结构来分析递归调用的执行过程：（摘自大话数据结构 P103页）



主函数中的测试代码如下：

//测试代码
int main()
{
BinaryTree tree = new BinaryTreeNode;
cout << "构建一颗由字符构成的二叉树，#代表空" << endl;
CreateBinaryTree(&tree);
cout << "二叉树的前序遍历输出" << endl;
PreOderTraverse(tree);
cout << endl;
cout << "二叉树的中序遍历输出" << endl;
InOderTraverse(tree);
cout << endl;
cout << "二叉树的后序遍历输出" << endl;
PostOderTraverse(tree);
cout << endl;
return 0;
}

输出如下图所示：

假设输入这样一个二叉树数据结构：

“#”代表当前节点的数据域为空

ABD#J##EK###CFL###G##

扫码获取更多相关文章：