DNN反向传播详解

目前的深度神经网络模型中，主要都是依赖传统BP的反向传播方式来计算梯度，由于tensorflow等牛逼框架的存在，目前梯度的计算方式被很多人都忽略掉了，本文旨在给大家详细推导下在不考虑dropout及特殊结构的情况下，全连接DNN模型是如何梯度下降的。
首先，给出深度神经网络的一般结构形式：


说明下推导过程中一些基本变量及参数的含义：


：表示第l层的第i个节点与第l-1层的第j个节点连接的权重w；


：表示第l层第i个节点的偏置；


：表示第l层第i个节点的输出；


：表示第l层第i个节点的输入

由全连接神经网络的前向传播的理论可以知道：




其中N表示第l-1层的节点的数量，delta表示节点使用的激活函数。

首先明确我们的目标，是得到参数矩阵w和b的梯度，即求解w和b在损失函数中的导数，一般采用对数损失函数来衡量，这里方便起见，用L表示DNN的损失函数。
熟悉的朋友应该知道，这里的计算会用到链式求导，为了简化表示，首先定义一个重要的中间变量：


我们期望的是，通过中间变量，来用传递的方式得到每层的相关参数的梯度，因此，我们希望的是每一层的中间变量之间有一定的关系，考虑第l-1层的中间变量：


首先来解释下这个等式，可能很多人不理解为什么不是直接链式求导，而是求导后还求了和，原因是第l层的第i个节点的输入和第l-1层输入之间的关系，不是一对一，而是第l-1层的每个输入都对第l层第i个输入有影响，具体通过神经网络图不难看出。为了计算上面的l-1层的中间变量，首先给出两层z之间的关系：


由（5）可知，第l-1层的中间变量：


这个等式计算的是每个单独的中间变量之间的关系，如果用矩阵形式，应该怎么表示呢，我们可以来具体深入探讨下，将（6）式最后的结果用矩阵的乘法表示为：


对于7式，我们将第l-1层的所有中间变量进行排列：


这样，我们就得到了关键的两层之间的中间变量的关系式，可以看到，只与上层的W矩阵和激活函数的导数有关，计算起来将非常方便。废话不多说，有了中间变量之间的关系，100层的DNN都不怕了，接下来我们就给出各个参数的梯度计算：
首先对于参数矩阵W（取其中的第l层的某个w）：


同样的方法，将单个w推广到整个第l层的W矩阵有（借助矩阵乘法的思想）：


再对于每层的偏置b而言：


同样推广到整层的偏执b：


由式10和12，我们就得到了DNN在训练中利用梯度下降法得到每层梯度的方法，而式8保证了可以通过传播的方式得到每一层的梯度。
最后：总结一下不考虑正则、dropout等细节的全连接深度神经网络的训练方法：