[SVM系列之二]线性分类

在上一节中，我们对支持向量机（SVM）有了一个大概的印象，当然，这还远远不够。在深入了解之前，在本节中我们将涉及分类问题。分类的目的是学会一个分类函数或分类模型（或者叫做分类器），该模型能将数据库中的数据项映射到给定类别中的某一个，从而可以用于预测未知类别。分类在机器学习、数据挖掘等领域中得到广泛的应用，可以用来解决各种实际应用问题，因此它的重要性不言而喻。

支持向量机（SVM）算法也是分类方法的一种。

线性二分类模型

分类标准

对于两类分类问题，将数据点用 xx 来表示，这是一个 nn 维向量，wTwT 上标中的“TT”代表转置，而类别用 yy 来表示，可以取 11 或者 –1–1，分别代表两个不同的类。一个线性分类器就是要在 nn 维的数据空间中找到一个超平面，其方程可以表示为：

wTx+b=0wTx+b=0

这个1或–1的分类标准起源于逻辑回归，下面进行介绍。

逻辑回归

逻辑回归（Logistic Regression）的目的是从特征学习出一个 0/10/1 分类模型，而这个模型是将特征的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用逻辑函数（或称作Sigmoid函数）将自变量映射到 (0,1)(0,1) 上，映射后的值被认为是属于 y=1y=1 的概率。形式化表示就是：假设函数

hθ(x)=g(θTx)(1.1)(1.1)hθ(x)=g(θTx)

其中 xx 是 nn 维特征向量，函数 gg 就是逻辑函数。对于一元变量的情形，g(z)=11+e−zg(z)=11+e−z 的图像为：



由上图可以看出，函数gg将(−∞,+∞)(−∞,+∞)映射到了 (0,1)(0,1)，式 (1.1)(1.1) 可作为 xx 对应 y=1y=1 的概率：

P{y=1|x;θ}=hθ(x)(1.2)(1.2)P{y=1|x;θ}=hθ(x)

P{y=0|x;θ}=1−hθ(x)(1.3)(1.3)P{y=0|x;θ}=1−hθ(x)

如果要判别一个数据点 xx 属于哪个类时，只需求 hθ(x)hθ(x)，若大于 0.50.5 就是 y=1y=1 的类，反之属于 y=0y=0 类，也即自变量 θTxθTx 若大于 00 就是 y=1y=1 的类，否则属于 y=0y=0 类。

总结：逻辑回归就是要学习得到 θθ，使得正例的特征远大于 00，负例的特征远小于 00，强调在全部训练实例上达到这个目标。

扩展：分类与回归的区别是什么？

答：区别在于输出变量的类型。

定量输出称为回归，或者说是连续变量预测；

定性输出称为分类，或者说是离散变量预测。

*举个例子：

预测明天的气温是多少度，这是一个回归任务；

预测明天是阴、晴还是雨，就是一个分类任务。*

形式化表示

我们采用结果标签 y=−1y=−1 和 y=1y=1，分别替换在逻辑回归中使用的y=0y=0 和 y=1y=1。同时将 θθ 替换成 ww 和 bb。以前的 θTx=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxnθTx=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn（其中认为 x0=1x0=1）。现在我们替换 θ0θ0 为 bb，替换后面的 θ1x1+θ2x2+…+θnxnθ1x1+θ2x2+…+θnxn 为 w1x1+w2x2+…+wnxnw1x1+w2x2+…+wnxn（即 wTxwTx）。这样，我们让 θTx=wTx+bθTx=wTx+b，进一步 hθ(x)=g(θTx)=g(wTx+b)hθ(x)=g(θTx)=g(wTx+b)。也就是说除了 yy 由 y=0y=0 变为y=−1y=−1，只是标签表示值不同外，与逻辑回归的形式化表示没有区别。

现在，我们可以把式 (1.1)(1.1) 重写为：

hw,b(x)=g(wT+b)(1.4)(1.4)hw,b(x)=g(wT+b)

“逻辑回归”部分提到过：只需考虑 θTxθTx 的正负问题，而不用关心 g(z)g(z)，因此我们这里将 g(z)g(z) 做一个简化，将其简单映射到 y=−1和y=1y=−1和y=1 上。映射关系如下：

g(z)={1,−1,if z≥0if z<0(1.5)(1.5)g(z)={1,if z≥0−1,if z<0

线性分类举例

还记得上一节桌面上用木棍分开红蓝小球的例子嘛？将其抽象到二维平面上表示为：



图中粉红色的线（即木棍）将红蓝色的点（即红蓝小球）分开，这条线也称为超平面（hyperplane），也可以说，在超平面一边的数据点所对应的 yy 全是 –1–1，而在另一边全是 11。

设分类函数（重要：后面会重点讨论）为：

f(x)=wTx+b(1.6)(1.6)f(x)=wTx+b

显然，如果 f(x)=0f(x)=0，那么 xx 是位于超平面上的点。我们不妨要求对于所有满足 f(x)<0f(x)<0 的点，其对应的 yy 等于 –1–1，而 f(x)>0f(x)>0 则对应 y=1y=1 的数据点，见下图。



我们先从最简单的情形开始，假设数据都是线性可分的，亦即这样的超平面是存在的。当然，有些时候，或者说大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在（后面会涉及到）。

再实际应用中，我们在进行分类的时候，将数据点 xx 代入 f(x)f(x) 中，如果得到的结果小于 00，则赋予其类别 –1–1，如果大于 00 则赋予类别 11。如果 f(x)=0f(x)=0，则会出现问题，它并不属于任何一类。

参考文献

[1]支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界) - July

[2]分类与回归区别是什么？ - 走刀口的回答 - 知乎

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