计算几何入门 6：凸包的构造——Graham Scan算法

上文简要分析出了凸包构造问题算法的下界：O(nlogn)，在此就引入一种下界意义上最优的算法：Graham Scan算法。这种算法可以保证在最坏情况下时间复杂度也不超过nlogn。我们先大致了解一下算法的流程，然后通过一个例子深入算法的细节，最后给出理论性的分析。

一、Graham Scan算法流程

假设待处理点集S共有n个点。

Graham Scan首先要做的是一个预处理排序操作（presorting）。即找到某个基准点，然后将其余所有的点按照相对于基准点的极坐标排序。如下图：



点的排序可以套用任意排序算法的框架，只是将排序对象由数值变为了平面上的点，而比较器改为to left test实现。

以点1为基准点，其余点按照相当于点1的极角依次排序为2、3、4......理论上讲任何一个点都能当第一个基准点，为了简化算法通常选择lowest-then-leftmost point（LTL）作为基准点。

然后对于与基准点1极角最小的点，也就是图中点2（假设没有三点共线的情况）。将点1和点2作为算法的起始点。

再来看Graham Scan用到的数据结构。整个算法非常简明，核心数据结构只有两个栈，分别记作栈S和栈T。便于理解我们将S和T画成开口相对的形式，如下图：



算法开始前先将起始点1和2入栈S，其他的n-2个点入栈T，如上图。注意S和T中元素的入栈顺序。至此presorting已经完成。

完成预处理之后，就能开始算法的核心：scan操作。scan的过程中要时刻关注三个点：栈S的栈顶（S[0]）、次栈顶（S[1]）和栈T的栈顶（T[0]）。也就下图红色标注的三个点：



算法的总体框架为：

 while( !T.empty() )
4000
   //检查栈T中所有点

        if ( toLeft( S[1], S[0], T[0]) )    //判断点T[0]位于边S[0]S[1]的左边还是右边，

                S.push( T.pop() );     //左边则将T栈顶推入S，即向前扩展一条边

        else

                S.pop();    //右边则弹出S栈顶点，即回溯，将此前认为是极点的点丢弃

可以观察到，每次待处理的S[0]和S[1]构成的边一定是一条极边（如上图点1和点2），算法关键步骤就是对边这条极边和T[0]做to left test，判断T[0]位于边S[0]S[1]的左边还是右边。若在左边则继续拓展，若在右边则否定掉此前认定的极边。无论结果如何，每次判定都会将问题规模缩小一个单元，算法结束时T最终肯定为空。T空后，S中存留下的点正是凸包的极点，这些点自底而上正是凸包边界点的逆时针遍历，也得到了整个凸包构造问题的解。

先来看一个最简单的例子，即点集S中所有的点都在凸包边界上。如下图：



先找到LTL，也就是图中点1。然后基于点1对其余点按极角排序为点2、3、4......（实际上以一个点为中心的有序的点集，构成了所谓的星形多边形（star-shaped polygon），中心点正是星形多边形核（kernel）的一部分。凸多边形必然是星形多边形，反之则不然。）然后找到点1的后继2，点1和点2构成第一条极边。初始化栈S和栈T。

现在要关心S[1], S[0]和T[0]，就是点1，2和3。点3位于边12左侧，to left关系为true，S.push( T.pop() )，向前拓展了一条暂定极边。

接下来重复上述过程。考虑点2，3和4。to left关系为true，S.push( T.pop() )......最终栈T空，算法结束，凸包由栈S自底向上得到。S和T的变化过程如下图：


===>

===>

===>

二、举例

上面列举了最简单的情况下Graham Scan的过程，接下来列举一个更有代表性的实例深入算法的细节。

输入的点集S，并进行预处理排序，并初始化栈S、T，如下图：



接下来对点1，2和3进行to left测试，本质上就是判断边2→3（图中黄色边）能否被暂时采纳。测试结果为true，暂时采纳边2→3，S.push( T.pop() )。如下图所示：



注意图中蓝色边表示已经被暂时接纳的边，也就是算法暂时认定的极边。上一次操作将蓝色边推进一个单元，接下来关注点2，3和4，来判断下一条黄色边3→4能否被接纳。to left测试为true，S.push( T.pop() )，接纳边3→4。如下图右侧所示：



然后判断点3，4和5。点5在边3→4的右侧，即to left测试为false。S.pop()，也就是判断出点4不可能为极点，丢弃4。因此算法回溯到点3，判断点2，3和5的关系。5在2→3的左侧，暂时接纳边3→5，S.push( T.pop() )。如下图：



算法经历了无效操作，进行了回溯，得到了目前来说最优的“极边”。虽然这些”极边“不一定能最终保留，但问题的规模得到了削减。

下一次scan考察的就是3，5和6了。



3，5和6的to left测试为false，S.pop()，舍弃点5。然后考察点2，3和6，to left测试为false，S.pop()舍弃点3。如下图：



考察点2，6和7，点7在边2→6左侧，暂时接纳边6→7，S.push( T.pop() )。然后考察点6，7和8。



点8在边6→7右侧，S.pop()，舍弃点7。然后考察点2，6和8，如下图：



点8在边2→6左边，S.push( T.pop() )，接纳边6→8。
此时栈T已经空了，算法结束。栈S自底向上依次为1、2、6、8，也就构造出了凸包。

三、算法正确性

了解了算法的整体流程之后，我们再来论证一下算法的正确性。证明一个算法正确性的方法有很多，在此选用数学归纳法。数学归纳法的思想可用多米诺骨牌类比，要做的无非是两件事：证明第1张骨牌会倒；证明如果第n张骨牌会倒则第n+1张骨牌也会倒下。

Graham Scan过程就是一个个引入点的过程。每当我们得到第k个点的时候，算法所得到的就是前k个点对应的“最好的凸包”。因此当k = n时得到的是整体的凸包。

归纳的第一步就是证明k = 3时得到的是当前点集S‘ = {1，2，3}中的极边，也就是证明第1张骨牌会倒。显然边1→2是S’的一条极边。而根据预处理的方式，3相较于1的极角一定小于2，因此点3一定在边1→2的左侧，因此边2→3会得到保留。对于三个点来说，任意两条边一定都是极边，2→3也是一条极边。

然后证明：假设已经处理到第k个点，得到的是前点集S' = {1，2，3，...，k}中所谓“最好的凸包”。根据算法处理方式，接下来从S'' = {1，2，3，...，k，k+1}得到的结果是否也是正确的。也就是证明第n张骨牌会倒则第n+1张骨牌也会倒下。

预处理的方式是对2-n所有点相较于点1按极角排序，因此下一个要处理点k+1一定出现在线1→k的左侧，也就是下图蓝色区域和绿色区域（假设k = 9）：



而根据目前接纳的最后一条极边 k-1→k （例如图中8→9）来划分，点k+1可能出现的区域又分为两块，即该极边的左侧（绿色区域）和右侧（蓝色区域）。这也正对应于算法判定的两个分支。

左侧的情况很简单，点k+1显然会是一个新的极点。Graham Scan要做的正是暂时接纳边k→k+1，拓展了一个新的单位。

再看k+1落在右侧的情况。如下图点10：



Graham Scan要做的是丢弃点k（图中点9），也就是判定出点k不可能是极点。这样做的原因：是引入点k+1后，点k一定会被包含在三角形(1, k-1, k+1)内部。如图中点9一定包含于三角形(1, 8, 10)内部。正如极点法中排除非极点的做法，点k被排除是正确的做法。接下来点k-1，k-2等（如图中点8，点7等）也可能是非极点，按照算法的流程，它们总会被判定在某个三角形的内部（例如点7在三角形(1, 5, 10)内部）而被排除，直到left test为true，回溯停止。

换个角度考虑，回溯停止时得到的新边正是增量构造法中每步得到的support line，即切线。例如图中线5→10正是算法当前保留的”凸包“的切线。这也能论证Graham Scan处理方式的正确性。

至此，算法思路上的正确性已经证明完毕。

接下来还要考虑算法的表述方式是否有漏洞：代码中每次to left test之前并没有判断S栈中是否有≥2个元素。这也可以由预处理的方式来论证。点1选取的是LTL，而点2是相对于点1极角最小的点，这样的做法保证了除了点1和点2之外所有的点一定是在边1→2左侧的。因此算法回溯最多到点2，永远不可能把点2丢弃，S中元素任何时候至少有两个。

Graham Scan算法的正确性论证完毕。

最后来思考一下预处理操作：presorting。仔细回顾上述论证过程会发现，每一步的正确性都是建立在最初的排序上的。那么这个预处理排序真的是必要的吗？可以来举极端的反例，每次选取下一个点都是随机的，例如下图的路径：



上图中从点1开始出发进行to left测试，可以发现，每次判定结果都为true，最终所有的点都被保留了下了，而显然这并不是一个凸包。因此presorting是整个算法成立的基础。

四、算法分析

上面证明了Graham Scan算法的正确性，接下来分析其复杂度是否满足O(nlogn)，实现所谓的最优算法。

直观上无法断定Graham Scan是一个最优的算法，尤其是以下极端情况令人质疑其效率：



算法复杂度由三部分决定：

persorting，采用一般排序算法，复杂度是O(nlogn)
逐步迭代，O(n)
scan，O(?)

算法的总体复杂度就是O(nlogn + n * ?)。可见scan的复杂度决定了算法总体的复杂度

算法一步步纳入新点，会迭代n步。但是在每个点上都有可能做回溯操作，所以scan的复杂度是不确定的。我们来以上图最坏情况为例，到第8个点时判定为false，舍弃点7，回溯。下一步判断也为false，舍弃点6，回溯。如此回溯直到算法开始的点2。这次scan倒退了高达O(n)个点，如果每次scan都是如此那么算法整体复杂度就为：O(nlogn + n * n) = O(n^2)了，那这种算法的意义也就不大了。

其实上述分析并非错误，只是不够精确。O(n^2)确实是Graham Scan算法的一个上界，但是这个上界并不是紧的。问题就出在分析假定了每次都会出现回退高达O(n)个点。

下图展示了整个Graham Scan的流程：



图中黄色边是没有采纳的，就是to left测试判定为false后直接舍去的。紫色边则是曾经被认为是极边而接纳的，后来经过回溯又舍去了。无论是黄边还是紫边，在其上耗费的都是常数时间，关键就在于黄色边和紫色边的数目了。

通过观察可以发现，从图论的角度看，所有的黄色边和紫色边连在一起构成了一张平面图，也就是它们互相是不可能内部相交的。平面图的一个重要性质：

平面图中所有边的数目和顶点数目保持同阶
这个性质来自欧拉公式：有n个点的平面图，边的数目上限是3n，也就是O(3n)。

根据这个性质，在persorting之后的整个流程中，Graham Scan所能走过的所有边不仅不会到达n^2，而顶多到达和n同阶的一个线性数目。因此整个算法的复杂度也就取决于persorting的O(nlogn)了。

五、算法推广*

Graham Scan算法不仅可以用于凸包构造问题，在其他许多场景下中也十分有效。为了推广Graham Scan算法，首先可以对其做简化，以方便利用在其他问题。

首先再来回顾一下预处理排序，这是算法成立必不可少的一步。排序算法套用成熟的方法即可，利用数学方法计算偏角不仅复杂而且引入了误差，所以要采用to left test。要做的就是两点：

套用成熟的排序算法，将待排序元素由数值变为点
将排序算法的比较器改为to left test实现

按照这样的流程就能间接地实现persorting。

有时候我们并不是从零开始构造凸包，例如得到的待处理点集已经是有某种次序的（比如已经按x坐标大小排序，如下图）。



这种情况也不一定非得进行persorting构造新的次序，通常改变观察的角度，换一种理解方式就能免去预处理而直接进行后面的线性的scan操作了。

考虑y轴负方向无穷远一个点，所有的点相对于这个点的极角排序恰好就是各点的x坐标序！也就是将无穷远的点看作起始点①，最右侧点（图中点8）看作点②，进行scan过程直到最左边的点（图中点1）结束，就得到了凸包的上半部分（upper hull），也就是下图的8→7→2→1：



下半部分凸包（lower hull）的构造也是如此。考虑一个在y轴正方向无穷远的一个点，以此为起点进行scan，最终得到lower hull：1→4→7。最后将两个凸包合二为一即可。

本文是学堂在线课程《计算几何》的笔记，帮助理解和记录思考过程，不够严谨请见谅。