数据结构——平衡二叉树
2018-02-06 15:24
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一、平衡二叉树的定义
平衡二叉树（AVL 树）仍然是一棵二叉查找树，只是在其基础上增加了“平衡”的要求。所谓平衡是指，对 AVL 树的任意结点来说，其左子树与右子树的高度之差的绝对值不超过 1，其中左子树与右子树的高度之差称为该结点的平衡因子。
由于需要对每个结点都得到平衡因子，因此需要在树的结构中加入一个变量 height，用来记录以当前结点为根结点的子树的高度：
1 // 平衡二叉树结构体
2 struct node {
3 int v, height; // v 为结点权值， height 为当前子树高度
4 node *lchild, *rchild; // 左右孩子结点地址
5 };
在这种定义下，如果需要新建一个结点，就可以采用如下写法：
1 // 平衡二叉树新建结点
2 node* newNode(int v) {
3 node* Node = (node*)malloc(sizeof(node)); // 申请地址空间
4 Node->v = v; // 结点权值为 v
5 Node->height = 1; // 结点高度初始为 1
6 Node->lchild = Node->rchild = NULL; // 初始状态下没有左右孩子
7 return Node;
8 }
可通过下面的函数获取结点 root 所在子树的当前高度：
// 获取以 root 为根结点的子树的当前高度
int getHeight(node* root) {
if(root == NULL) return 0; // 空树高度为 0
return root->height;
}
于是根据定义，可以通过下面的函数计算平衡因子：
// 计算结点 root 的平衡因子
int getBalanceFactor(node* root) {
// 左子树高度减右子树高度
return getHeight(root->lchild) - getHeight(root->rchild);
}
显然，结点 root 所在子树的 height 等于其左子树的 height 与右子树的 height 的较大值加 1，因此可通过下面的函数来更新 height：
1 // 更新结点 root 的高度
2 void updateHeight(node* root) {
3 // 根结点高度为左右子树高度较大值 +1
4 int lHeight = getHeight(root->lchild), rHeight = getHeight(root->rchild);
5 int max = lHeight > rHeight ? lHeight : rHeight;
6 root->height = max + 1;
7 }
二、平衡二叉树的基本操作
和二叉查找树相同，AVL 树的基本操作有查找、插入、建树以及删除，由于删除操作较为复杂，因此主要介绍 AVL 树的查找、插入和建立。
1. 查找操作
由于 AVL 树是一棵二叉查找树，因此其查找操作的做法与二叉查找树相同。代码如下：
1 // 查找平衡二叉树中数据域为 x 的结点
2 void search(node* root, int x) {
3 if(root == NULL) { // 空树，查找失败
4 printf("search failed\n");
5 return;
6 }
7 if(x == root->v) { // 查找成功，访问之
8 printf("search success %d\n", root->v);
9 } else if(x < root->v) { // x 比根结点的数据域小，往左子树查找
10 search(root->lchild, x);
11 } else {
12 search(root->rchild, x); // x 比根结点的数据域大，往右子树查找
13 }
14 }
2. 插入操作
先来看一下几个插入问题需要用到的几个操作。
左旋，调整步骤如下：
- [li] 让 B 的左子树 ♦ 成为 A 的右子树。
- 让 A 成为 B 的左子树
- 将根结点设定为结点 B
1 /*
2 平衡二叉树
3 */
4
5 #include <stdio.h>
6 #include <string.h>
7 #include <math.h>
8 #include <stdlib.h>
9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11
12 // 平衡二叉树结构体
13 typedef struct _node {
14 int v, height; // v 为结点权值， height 为当前子树高度
15 struct _node *lchild, *rchild; // 左右孩子结点地址
16 } node;
17
18 // 平衡二叉树新建结点
19 node* newNode(int v) {
20 node* Node = (node*)malloc(sizeof(node)); // 申请地址空间
21 Node->v = v; // 结点权值为 v
22 Node->height = 1; // 结点高度初始为 1
23 Node->lchild = Node->rchild = NULL; // 初始状态下没有左右孩子
24 return Node;
25 }
26
27 // 获取以 root 为根结点的子树的当前高度
28 int getHeight(node* root) {
29 if(root == NULL) return 0; // 空树高度为 0
30 return root->height;
31 }
32
33 // 计算结点 root 的平衡因子
34 int getBalanceFactor(node* root) {
35 // 左子树高度减右子树高度
36 return getHeight(root->lchild) - getHeight(root->rchild);
37 }
38
39 // 更新结点 root 的高度
40 void updateHeight(node* root) {
41 // 根结点高度为左右子树高度较大值 +1
42 int lHeight = getHeight(root->lchild), rHeight = getHeight(root->rchild);
43 int max = lHeight > rHeight ? lHeight : rHeight;
44 root->height = max + 1;
45 }
46
47 // 查找平衡二叉树中数据域为 x 的结点
48 void search(node* root, int x) {
49 if(root == NULL) { // 空树，查找失败
50 printf("search failed\n");
51 return;
52 }
53 if(x == root->v) { // 查找成功，访问之
54 printf("search success %d\n", root->v);
55 } else if(x < root->v) { // x 比根结点的数据域小，往左子树查找
56 search(root->lchild, x);
57 } else {
58 search(root->rchild, x); // x 比根结点的数据域大，往右子树查找
59 }
60 }
61
62 // 左旋
63 void L(node** root) {
64 node* temp = (*root)->rchild; // root指向A,temp指向B
65 (*root)->rchild = temp->lchild; // 步骤 1
66 temp->lchild = *root; // 步骤 2
67 updateHeight(*root); // 更新高度
68 updateHeight(temp);
69 (*root) = temp; // 步骤 3
70 }
71
72 // 右旋
73 void R(node** root) {
74 node* temp = (*root)->lchild; // root指向A,temp指向B
75 (*root)->lchild = temp->rchild; // 步骤 1
76 temp->rchild = *root; // 步骤 2
77 updateHeight(*root); // 更新高度
78 updateHeight(temp);
79 (*root) = temp; // 步骤 3
80 }
81
82 // 插入权值为 v 的结点
83 void insert(node** root, int v) {
84 if((*root) == NULL) { // 到达插入位置
85 (*root) = newNode(v);
86 return;
87 }
88 if(v < (*root)->v) { // v 比根结点权值小
89 insert(&(*root)->lchild, v); // 往左子树插入
90 updateHeight(*root); // 更新树高
91 if(getBalanceFactor(*root) == 2) {
92 if(getBalanceFactor((*root)->lchild) == 1) { // LL 型
93 R(*root);
94 } else if(getBalanceFactor((*root)->lchild) == -1) { // LR 型
95 L(&(*root)->lchild);
96 R(root);
97 }
98 }
99 } else { // v 比根结点权值大
100 insert(&(*root)->rchild, v); // 往右子树插入
101 updateHeight(*root); // 更新树高
102 if(getBalanceFactor(*root) == -2) {
103 if(getBalanceFactor((*root)->rchild) == -1) { // RR 型
104 L(root);
105 } else if(getBalanceFactor((*root)->rchild) == 1) { // RL 型
106 R(&(*root)->rchild);
107 L(root);
108 }
109 }
110 }
111 }
112
113 // AVL 树的建立
114 node* create(int data[], int n) {
115 node* root = NULL; // 新建根结点 root
116 int i;
117 for(i=0; i<n; ++i) {
118 insert(&root, data[i]); // 将 data 中数据依次插入AVL树
119 }
120 return root; // 返回根结点
121 }
122
123 // 先序遍历
124 void preorder(node* root) {
125 if(root == NULL) {
126 return; // 空树，递归边界
127 }
128 printf("%d\n", root->v); // 访问该结点
129 preorder(root->lchild); // 访问左子树
130 preorder(root->rchild); // 访问右子树
131 }
132
133 int main() {
134 int data[10] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
135 node* root = NULL;
136 root = create(data, 10); // 创建 AVL 树
137 preorder(root); // 先序遍历
138 search(root, 10); // 在 root 中查找 10
139 return 0;
140 }
平衡二叉树
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