拓展欧几里得算法——青蛙的约会

首先先来介绍一下什么是拓展欧几里得算法！
我们知道欧几里得算法利用gcd(a,b) = gcd(b , a%b)（非重点，可以百度证明过程）来求解a,b的最大公约数
int gcd( int a , int b)
{
if(b==0) returna;
else returngcd(b, a%b);
}
那什么是拓展欧几里得呢？和欧几里得算法有什么联系？实际上就是在欧几里得算法求公约数的过程中将x, y求出来！下面来说说x, y是什么鬼！

现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定！！一定！！（数论知识）能够找到这样的 x 和 y 满足: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程，并且是有多解的。那我们能不能找出一条通式来表达所有的可能解呢？是可以的！只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：

x = x0 + (b/gcd)*t （务必留意）

y = y0
– (a/gcd)*t

为什么不是：

x = x0 + b*t

y = y0
– a*t

b/gcd
是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？

注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a/gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？（仔细想想应该不难理解!）所以最小的系数就是 A 和 B 了！

现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x +b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。也就是开头说的求解x, y！

我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd

这是最终状态，那我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？上面不懂为什么没关系！往下看！

假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 +(a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：

gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1
– (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1
– a/b*y1)

对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y= gcd ，是否发现了什么？

这里：

x = y1

y = x1
– a/b*y1
那我们怎么知道x1, y1呢？求出x2, y2!!!直到最终状态！
还是不懂具体看看代码，多想想，也许就能懂吧…….
在此之前先来几个定理，实际上就是把上面说的重新简洁地叙述了一遍

定理1 gcd(a,b)是ax+by的线性组合的最小正整数，x，y∈z;

定理2 如果ax+by=c，x，y∈z；则c%gcd==0;

定理3 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程

ax+by=c（1）

有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为

x=x0+bt;y=y0-at;t∈z;（2）

以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：



扩展欧几里德有什么用处呢？

求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如下面的青蛙约会！

根据题意，两个青蛙跳到同一个点上才算是遇到了，不是一个追上另一个啊！！！所以有 (x+m*t) - (y+n*t) = p * ll (p是周长，t是跳的次数，ll是a青蛙跳的圈数跟b青蛙的圈数之差。整个就是路程差等于纬度线周长的整数倍)
这里不懂就代个数看看！这也许就是传说中的抽象和建模吧！难点在这！

转化一下： (n-m)* t + p* ll= x
– y; 实际就是求解不定方程a*x+b*y=c！拓展欧几里得！

令 a = n-m, b = ll, c = gcd(a, b), d =x-y;

有 a * t + b * p= d; (1)

要求的是t的最小整数解。

用扩展的欧几里德求出其中一组解t0,p0,
并令c = gcd(a, b);

有 a * t0 + b * p0 = c; (2)

因为c =gcd(a, b),
所以 a * t / c是整数，b
* t / c 也是整数，所以 d / c
也需要是整数，否则无解。

(2)式两边都乘(d / c)
得 a * t0 *(d / c) + b* p0 * (d / c) = d;

所以t0 * (d / c)是最小的解，但有可能是负数。

因为a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c)
– a*n) = d; (n是自然数)
用到了上面的通式！！！

所以解为 (t0 * (d / c) % b + b) % b;
下面是几个拓展题目：
ZOJ 3609 ：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4712
求最小逆元
ZOJ 3593
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3593
求最小的步数，处理特殊一点就过去了
HDU 1576
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576
做点处理即可
HDU
2669 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669
裸的扩展欧几里得
下面给出引用的博客链接：
拓展欧几里得详解：http://m.blog.csdn.net/article/details?id=7786595
大神题解：http://blog.chinaunix.net/uid-22263887-id-1778922.html

#include <iostream>
#define ll long long

using namespace std;

ll x, y;

ll ex_gcd(int a, int b)
{
if(b == 0){
x = 1;
y = 0; ///最终状态来临，我们给出x==1,y==0！回溯开始！
return a;
}
ll ans;
ans = ex_gcd(b, a%b);  ///一直递归，直到a==gcd,b==0的最终情况
ll temp = x;
x = y;
y = temp - a/b*y;
return ans;
}

int main( )
{
ll m, n, L;
while(cin>>x>>y>>m>>n>>L){
ll a = n-m;
ll b = L;
ll c = x-y;
ll gcd = ex_gcd(a, b);
if(c%gcd!=0) {cout<<"Impossible"<<endl;continue;}
else{
x*=c/gcd; ///注意了这里我们求出来的是 a*x + b*y = gcd的 x 的最小值，所以要两边乘c/gcd才是真的解
b/=gcd;   ///b也是一样的道理
if(b<0) b=-b;
ll result = x%b;   ///避免负数情况 (x0 * (c / gcd) % b + b) % b 这才是正解
if(result<=0) result+=b;
cout<<result<<endl;
}
}
return 0;
}