Codeforces 914G Sum the Fibonacci

题意

给出长度为nn的数组sisi，对于所有满足下列限制的五元组(a,b,c,d,e)(a,b,c,d,e)

1. 1 ≤a, b, c, d, e ≤ n1 ≤a, b, c, d, e ≤ n

2. (sa|sb)(sa|sb) &scsc & (sd(sd^se) = 2ise) = 2i for some integer i

3. sasa&sb = 0sb = 0

求∑fib(sa|sb) ∗ fib(sc) ∗ fib(sd∑fib(sa|sb) ∗ fib(sc) ∗ fib(sd^se)se)。fibifibi是斐波那契数列的第ii项。

1≤n≤106,0≤si<2171≤n≤106,0≤si<217

分析

这题要用到子集卷积和FWT，都完美触及到我的知识盲区，在网上查了点资料，打算写篇博客记录一下。

首先注意到max(n)>max(si)max(n)>max(si)，所以可以考虑用axax表示有axax个sisi等于xx。

那么原问题大概可以通过以下步骤解决：

1.求AA数组使得Ai=fibi∗∑j∑k[j|k==iAi=fibi∗∑j∑k[j|k==i&&j∩k==∅]∗aj∗akj∩k==∅]∗aj∗ak

2.求BB数组使得Bi=fibi∗aiBi=fibi∗ai

3.求CC数组使得Ci=fibi∗∑j∑k[jCi=fibi∗∑j∑k[j^k==i]∗aj∗akk==i]∗aj∗ak

4.求DD数组使得Di=∑j∑k[jDi=∑j∑k[j&k==i]∗Aj∗Bkk==i]∗Aj∗Bk

5.求EE数组使得Ei=∑j∑k[jEi=∑j∑k[j&k==i]∗Dj∗Ckk==i]∗Dj∗Ck

1是子集卷积，345都可以FWTFWT搞搞。

子集卷积直接做有一种O(3n)O(3n)的做法，于是去学习了一下O(n2∗2n)O(n2∗2n)的姿势。不过网上貌似没有很多我看的懂的资料。查了很久查到了讲集合并卷积的东西。。仔细想了一下可能做法差不多。。？

集合并卷积是求fi=∑j∑k[j|k==i]∗aj∗akfi=∑j∑k[j|k==i]∗aj∗ak，也就是两个子集交集可以不为空。

考虑这样一个二维上的问题：求fi=∑max(r1,c1)==i∑max(r2,c2)==iar1,c1∗ar2,c2fi=∑max(r1,c1)==i∑max(r2,c2)==iar1,c1∗ar2,c2

有一种做法是求一次二维前缀和后，将前缀和自己做一次点积，然后沿着对角线做差分就是答案。

对应到求集合并卷积可能也是差不多的道理(强行意念差不多)。做一次高维前缀和之后点积一下然后高维差分就是答案。

子集卷积实际上就是把集合大小相同的集合都放在了一起，每种集合大小都各自跑集合并卷积，点积的时候把不同集合大小的卷起来就行。。

FWTFWT的证明YYYY了好久。。最后xjbxjb想了一下假装自己会了。。

for(int d=1;d<n;d<<=1)for(i=0;i<n;i+=d*2)for(j=0;j<d;++j){
//x=a[i+j],y=a[i+j+d]
//正变换
//and a[i+j]=x+y
//or a[i+j+d]=x+y
//xor a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=x-y
//逆变换
//and a[i+j]=x-y
//or a[i+j+d]=y-x
//xor a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2
}

对于andand，考虑新增的位，f0f0和f1f1都被加到f′0f0′上，也就是f′0=f0+f1,f′1=f1f0′=f0+f1,f1′=f1，点积之后就是

h0=f′0∗g′0=(f0+f1)∗(g0+g1)=f0∗g0+f0∗g1+f1∗g0+f1∗g1h0=f0′∗g0′=(f0+f1)∗(g0+g1)=f0∗g0+f0∗g1+f1∗g0+f1∗g1

h1=f′1∗g′1=f1∗g1h1=f1′∗g1′=f1∗g1

显然h0h0多了一项f1∗g1f1∗g1，因为11&1==11==1，而这一项恰好等于h1h1，在逆变换中减去即可。将每一位多出的答案依次减掉之后最后就是所求。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1<<17;
const int MOD=1000*1000*1000+7;
int n,inv2,a
,fib
,bits
,b[18]
,c[18]
,A
,B
,C
;
inline void read(int&x){char c;while((c=getchar())<'0'||c>'9');x=c-'0';while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0';}
inline void add(int&x,int y){x=x+y<MOD?x+y:x+y-MOD;}
inline int he(int x,int y){return x+y<MOD?x+y:x+y-MOD;}
int Pow(int x,int y){int t=1;for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%MOD)if(y&1)t=1LL*t*x%MOD;return t;}
int main(){
int i,j,d,S;
read(n);
inv2=Pow(2,MOD-2);
for(i=1;i<=n;++i)read(j),++a[j];
for(fib[1]=1,i=2;i<N;++i)fib[i]=he(fib[i-1],fib[i-2]);
for(i=1;i<N;++i)bits[i]=bits[i>>1]+(i&1);
for(i=0;i<N;++i)b[bits[i]][i]=a[i];
for(i=0;i<18;++i){
for(j=0;j<17;++j)
for(S=0;S<N;++S)if(1<<j&S){
add(b[i][S],b[i][S^(1<<j)]);
}
}
for(i=0;i<18;++i){
for(j=0;j<=i;++j){
for(S=0;S<N;++S){
add(c[i][S],1LL*b[j][S]*b[i-j][S]%MOD);
}
}
}
for(i=0;i<18;++i){
for(j=0;j<17;++j){
for(S=1;S<N;++S)if(1<<j&S){
add(c[i][S],MOD-c[i][S^(1<<j)]);
}
}
}
for(i=0;i<N;++i)A[i]=1LL*c[bits[i]][i]*fib[i]%MOD;
for(i=0;i<N;++i)B[i]=1LL*a[i]*fib[i]%MOD,C[i]=a[i];
for(d=1;d<N;d<<=1){
for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
for(j=0;j<d;++j){
add(A[i+j],A[i+j+d]);
add(B[i+j],B[i+j+d]);
int x=C[i+j],y=C[i+j+d];
C[i+j]=he(x,y);
C[i+j+d]=he(x,MOD-y);
}
}
}
for(i=0;i<N;++i)A[i]=1LL*A[i]*B[i]%MOD,C[i]=1LL*C[i]*C[i]%MOD;
for(d=1;d<N;d<<=1){
for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
for(j=0;j<d;++j){
add(A[i+j],MOD-A[i+j+d]);
int x=C[i+j],y=C[i+j+d];
C[i+j]=1LL*(x+y)*inv2%MOD;
C[i+j+d]=1LL*(x-y+MOD)*inv2%MOD;
}
}
}
for(i=0;i<N;++i)C[i]=1LL*C[i]*fib[i]%MOD;
for(d=1;d<N;d<<=1){
for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
for(j=0;j<d;++j){
add(A[i+j],A[i+j+d]);
add(C[i+j],C[i+j+d]);
}
}
}
for(i=0;i<N;++i)A[i]=1LL*A[i]*C[i]%MOD;
for(d=1;d<N;d<<=1){
for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
for(j=0;j<d;++j){
add(A[i+j],MOD-A[i+j+d]);
}
}
}
int ans=0;
for(i=0;i<17;++i)add(ans,A[1<<i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}