基础算法(1)、有技巧的枚举
2018-01-31 19:11
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实际上,枚举是计算机科学中最常使用的一种算法,几乎所有问题都可以通过枚举来解决。
那为什么我们还要发明别的算法呢?因为CPU的运算速度有限,内存容量有限。
如果计算速度无限快,内存无限大,那么我们发明算法就没有任何必要了。
本文谈论的枚举是在基础枚举之上,通过一些特殊的技巧,给我们的枚举剪枝,从而
达到优化时间复杂度或空间复杂度的目的。
枚举的技巧有折半枚举、树上差分等,今天主要讲折半枚举的使用。
以下是例题:
POJ - 3977
题意:给定n(n≤35)个元素组成的集合,求一个非空子集使得该子集内元素之和的绝对值最小。
分析:明显能看出,对于每个元素,可以选择将其放入或不放入子集,暴力枚举的话时间复杂度最高为O(2^35)。
这种做法显然会T。
于是我们使用二分答案+贪心检验。即枚举前一半的元素,然后在后一半贪心地检验答案。
时间复杂度可降为O(2^18)。
贪心策略:找到不大于当前的和的相反数的数,在它的附近寻找答案。
另:本题可采用map,且poj不支持long long int的abs函数,所以需要自己手写。
代码如下:
总结一下本题可以学到的几个东西:
1、折半枚举
2、贪心策略
3、map的使用
4、位运算与位操作
相似的例题请参见WinterTraining5。
那为什么我们还要发明别的算法呢?因为CPU的运算速度有限,内存容量有限。
如果计算速度无限快,内存无限大,那么我们发明算法就没有任何必要了。
本文谈论的枚举是在基础枚举之上,通过一些特殊的技巧,给我们的枚举剪枝,从而
达到优化时间复杂度或空间复杂度的目的。
枚举的技巧有折半枚举、树上差分等,今天主要讲折半枚举的使用。
以下是例题:
Subset
POJ - 3977 题意:给定n(n≤35)个元素组成的集合,求一个非空子集使得该子集内元素之和的绝对值最小。
分析:明显能看出,对于每个元素,可以选择将其放入或不放入子集,暴力枚举的话时间复杂度最高为O(2^35)。
这种做法显然会T。
于是我们使用二分答案+贪心检验。即枚举前一半的元素,然后在后一半贪心地检验答案。
时间复杂度可降为O(2^18)。
贪心策略:找到不大于当前的和的相反数的数,在它的附近寻找答案。
另:本题可采用map,且poj不支持long long int的abs函数,所以需要自己手写。
代码如下:
#include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> #include<map> #include<utility> #include<cstdlib> #define ll long long int using namespace std; int n; ll a[37]; const int INF=0x7fffffff; ll Abs(ll x){ return x>0?x:(-x); } int main(){ while(cin>>n&&n){ for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; map<ll,int>dp;//此为当前集合元素之和->当前集合元素个数的映射 pair<ll,int>res;//此为需要维护的答案,是一个<绝对值最小的和,元素个数>的对 res.first=Abs(a[0]);//初始化答案为第一对<和,元素个数> res.second=1; int n2=n/2; for(int i=0;i<(1<<n2);i++){//折半枚举的过程 92b2 ll sum=0; int num=0; for(int j=0;j<n2;j++){ if((i>>j)&1){//这儿使用了二进制枚举,即取出i的第j位,如果枚举到第j个元素则让sum+=a[j] sum+=a[j]; num++; } } if(num==0)//当前子集没有选取任何数字 continue; res=min(res,make_pair(Abs(sum),num));//维护答案res,按题意使得排序条件为按元素和的绝对值递减,若相同,则按元素个数的绝对值递减 map<ll,int>::iterator it=dp.find(sum);//寻找map中是否存在first值为sum的映射 if(it!=dp.end())//存在则维护元素个数最小 it->second=min(it->second,num); else dp[sum]=num;//不存在则加入map } for(int i=0;i<(1<<n-n2);i++){//寻找后一半元素 ll sum=0; int num=0; for(int j=0;j<n-n2;j++){ if((i>>j)&1){ sum+=a[n2+j]; num++; } } if(num==0) continue; res=min(res,make_pair(Abs(sum),num));//维护答案res最小 map<ll,int>::iterator it=dp.lower_bound(-sum);//找到不大于sum相反数的位置 if(it!=dp.end()) res=min(res,make_pair(Abs(sum+it->first),num+it->second)); if(it!=dp.begin()){//在这附近维护res的最小 it--; res=min(res,make_pair(Abs(sum+it->first),num+it->second)); } } cout<<res.first<<" "<<res.second<<endl; } return 0; }
总结一下本题可以学到的几个东西:
1、折半枚举
2、贪心策略
3、map的使用
4、位运算与位操作
相似的例题请参见WinterTraining5。
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