二叉树的建立及遍历（递归）

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树特点:

1）每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树具有五种基本形态：

1）空二叉树；

2）只有一个根结点；

3）根结点只有左子树；

4）根结点只有右子树；

5）根结点既有左子树又有右子树。

特殊的二叉树:

1）斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有的结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这二者统称为斜树。斜树有明显特点，每一层都只有一个结点，结点的个数和二叉树的深度相同。斜树和线性表结构一样，线性表结构是树的一种特殊表现形式。

2）满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。单是每个节点都存在左右子树，不能算是满n二叉树，还必须要所有的叶子结点都在同一层上，这样就做到了整棵树的平衡。所以，满二叉树的特点是：1.叶子只能出现在最下一层，出现在其他层就不能达到平衡；2.非叶子结点的度一定是2；3.在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点最多，叶子数最多。

3）完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树 按层序编号 ，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。

完全二叉树的特性：

1）叶子结点只能出现在最下两层。

2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

3）倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。

4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。

5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的性质：

性质一：在二叉树的第i层上至多有 2i−1 个结点（i≥1）

性质二：深度为k的二叉树至多有 2k−1 个结点（k≥1）

性质三：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0，度为2的结点数为 n2，则 n0=n2+1

性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为 |log2n|+1（其中|x|表示不大于x的最大整数）

性质五：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（深度为 |log2n|+1）的结点按层序编号（从第1层到第|log2n|+1层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：

1）如果 i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果 i>1，则其双亲是结点|i/2|。

2）如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。

3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

以下是全部实现代码:

#include<iostream>
#define OVERFLOW -2
typedef char ElemType;
//二叉树的二叉链表结点结构定义
typedef struct BiTNode
{
char data;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;
//按前序输入二叉树中结点的值，#表示空树，构造二叉链表表示二叉树T
void CreateBiTree(BiTree *T)
{
ElemType ch;
scanf("%c",&ch);
if(ch=='#')
*T=NULL;
else
{
*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
if(!*T)
exit(OVERFLOW);
(*T)->data=ch;   //生成根节点
CreateBiTree(&(*T)->lchild);  //构造左子树
CreateBiTree(&(*T)->rchild);  //构造右子树
}
}
//二叉树的前序遍历递归算法
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c",T->data);  //显示结点数据
PreOrderTraverse(T->lchild);//再先序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->rchild);//最后先序遍历右子树
}
//二叉树的中序遍历递归算法
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
InOrderTraverse(T->lchild); //中序遍历左子树
printf("%c",T->data); //显示结点数据
InOrderTraverse(T->rchild); //最后中序遍历右子树
}
//二叉树的后序遍历递归算法
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild);  //先后序遍历左子树
PostOrderTraverse(T->rchild);  //再后序遍历右子树
printf("%c",T->data);  //显示结点数据
}
void main()
{
BiTree T=NULL;
printf("按前序输入二叉树中结点的值，#表示空树:\n");
CreateBiTree(&T);
printf("先序遍历二叉树结果是：");
PreOrderTraverse(T);
printf("\n");
printf("中序遍历二叉树结果是：");
InOrderTraverse(T);
printf("\n");
printf("后序遍历二叉树结果是：");
PostOrderTraverse(T);
printf("\n");
}

在VC++6.0中测试结果：
输入：AB#D##CE###

输出：先序遍历的二叉树结果是：ABDCE

中序遍历的二叉树结果是：BDAEC

后序遍历的二叉树结果是：DBECA